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Les espaces vectoriels
Définition

L'ensemble est formé de tous les n - uplets .

Nous noterons les n - uplets par des lettres majuscules et les composantes par des minuscules.

Deux n - uplets et , sont égaux si ils ont les mêmes composantes :

Le n - uplet est noté 0, comme pour les nombres. Le sens est clair par le contexte.

On utilise sur les deux opérations qui généralisent celles connues sur les vecteurs de l'espace :

l'addition

la multiplication par un scalaire

Propriété : Addition des n - uplets

L'addition vérifie les propriétés suivantes :

l'addition est associative :

0 est un élément neutre :

tout élément a un opposé noté :

l'addition est commutative :

Remarque

On peut vérifier composante par composante, comme pour les vecteurs de .

Propriété : Multiplication par les nombres

La multiplication des n - uplets par les nombres vérifie les propriétés suivantes :

Les nombres sont aussi appelés des scalaires. Les éléments de sont appelés vecteurs de , par analogie avec les vecteurs de . On dit que l'ensemble de n - uplets est un espace vectoriel. Les calculs sur les éléments de sont analogues à ceux sur les vecteurs. D'une façon générale, tout ensemble pourvu de deux opérations vérifiant les propriétés énoncées précédemment sera aussi appelé espace vectoriel sur . Les calculs sur les éléments de sont analogues à ceux sur les vecteurs.

On sait que contient au moins un vecteur , en utilisant la première relation et en faisant , on obtient et on deduit que est le vecteur nul.

Si dans la même relation on fait et on obtient , ce qui montre que est l'opposé du vecteur .

Légende :
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