Famille génératrice
Nous allons maintenant nous intéresser aux familles qui engendrent l'espace entier.
Une famille \(X_{1}, ..., X_{p}\) est une famille génératrice de \(\mathrm{I\!R ^ n}\) si tout élément \(X\) de \(\mathrm{I\!R ^ n}\) peut s'écrire comme combinaison linéaire des \(x_{i}\) :
\(\forall X \in \mathrm{I\!R ^ n} , \exists \alpha_{1}, \ldots,\alpha_{p} \in \mathrm{I\!K ^ n},~~X=\sum_{i=1}^p \alpha_{i} X_{i}\)
Autrement dit, la famille \(X_{1}, \ldots, X_{p}\) est génératrice de \(\mathrm{I\!R ^ n}\) , si
\(\mathrm{I\!R ^ n}=lin\left \lbrace{X_{1}, \ldots, X_{p}}\right \rbrace\)
Exemple :
Dans \(\mathrm{I\!R ^ 3}\), trois vecteurs non coplanaires forment une famille génératrice.
Système générateur dans l'espace vectoriel réel de dimension 3
Comment montrer que trois vecteurs \(V_{1} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})~,~ V_{2} = (y_{1}, y_{2}, y_{3})~,~ V_{3} = (z_{1}, z_{2}, z_{3})\) dans \(\mathrm{I\!R ^ 3}\), forment un système de générateurs ? Il faut que si on se donne un vecteur quelconque \(V = (a, b, c)\), on puisse trouver trois nombres \(\lambda, ~\mu ,~\nu\) tels que
\(V = \lambda V_{1} + \mu V_{2} + \nu V_{3}\)
C'est-à-dire que le système :
\(\left\{ \begin{array}{ccc} \lambda x_{1}+\mu y_{1}+\nu z_{1}&=& a \\ \lambda x_{2}+\mu y_{2}+\nu z_{2}&=& b \\ \lambda x_{3}+\mu y_{3}+\nu z_{3}&=& c \end{array} \right.\)
ait au moins une solution pour toutes valeurs prises par \(a, b, c.\)
Système générateur dans l'espace vectoriel réel de dimension n
On se donne \(p\) vecteurs \(V_{1}, \ldots, V_{p}\) pour chaque vecteurs \(V_{i}\) on désigne ses composantes à l'aide de deux indices \(V_{i} = (v_{1i}, v_{2i}, \ldots, v_{ni})\) où le deuxième indice désigne le numéro du vecteur.
Définition :
Les \(p\) vecteurs \(V_{1}, V_{2}, V_{3}, \ldots, V_{p}\) forment un système de générateurs de \(\mathrm{I\!R ^n}\), si pour toutes les valeurs prises par \(U = (u_{1}, \ldots, u_{n})\) élément de \(\mathrm{I\!R ^n}\), on peut trouver des \(\lambda\) tels que
\(U = \lambda_{1}V_{1} + \ldots + \lambda_{p}V_{p}\)
c'est-à-dire que le système en les inconnues \(\lambda_{1}+ \ldots + \lambda_{p}\) ait au moins une solution :
\(\left\{ \begin{array}{ccc} v_{11}\lambda_{1}+\ldots+v_{1p}\lambda_{p} &=u_{1}\\ v_{21}\lambda_{1} +\ldots+v_{2p}\lambda_{p} &=u_{2} \\ \vdots &\vdots \\v_{n1}\lambda_{1}+\ldots+v_{np}\lambda_{p} &=u_{n} \end{array}\right.\)
Les \(p\) vecteurs \(W_{1}, W_{2}, W_{3}, \ldots , W_{p}\) d'un sous-espace F forment un système de générateurs de \(F\), si tout vecteur de \(F\) peut s'exprimer comme combinaison linéaire des \(W_{i}\)