Espaces Rn

Nous allons généraliser aux espaces \(\mathbf{R^n}\) la notion de repère, qui s'appelle plutôt base de \(\mathbf{R^n}\).

Une famille \(\left(e_i \right)_{i \in I }\) est une base de \(\mathbf{R^n}\) si elle est à la fois libre et génératrice.

On considère les éléments \(\epsilon_1 = (1, 0, 0, \ldots , 0)~,~\epsilon_2 = (0, 1, 0, \ldots, 0), ~~etc~~ \epsilon_n = (0, 0, 0, \ldots, 1)\), de façon évidente, c'est une famille à la fois libre et génératrice.

On l'appelle la base canonique de \(\mathbf{R^n}.\)

Si \(X = (x_1, \ldots , x_n),~~X=\sum_{1}^n x_i \epsilon_i\)

Si une famille \(e_1, \ldots , e_n\) de vecteurs est une base de \(\mathbf{R^n}\) alors tout vecteur \(X\) de \(\mathbf{R^n}\) s'écrit de manière unique \(X=\sum_{1}^n \lambda_i e_i\) avec des coefficients \(\lambda_{i} \in K\).

L'existence des \(\lambda_i\) résulte du caractère générateur de la famille \(e_1, \ldots, e_n\). Un vecteur \(X\) s'écrit \(\sum_{1}^n \lambda_i e_i\) puisque \(e_1, \ldots, e_n\) est une famille génératrice.

Cette unicité résulte du caractère indépendant de la famille \(e_1, \ldots , e_n\). Si nous supposons une deuxième écriture

\(X=\sum_{1}^n \mu_i e_i = \sum_{1}^n \lambda_i e_i\) alors \(X=\sum_{1}^n (\lambda_i-\mu_i) e_i =0\) est une relation de dépendance entre les \(e_1, \ldots, e_n\), supposés indépendants. Donc \(\lambda_i - \mu_i = 0\) pour tout \(i\), ce qui montre l'unicité des cœfficients.

Dans \(\mathbf{R^3}\), tous les repères ont le même nombre d'éléments et on dit que la dimension de l'espace ordinaire est 3. Cette notion de généralise dans \(\mathbf{R^n}\) sous la forme des résultats suivants.

Dans l'espace \(\mathbf{R^n}\), toutes les bases ont le même nombre d'éléments. \(\mathbf{R^n}\) est de dimension \(n\) puisqu'il possède une base de \(n\) éléments, la base canonique.

Dans un sous-espace \(F\) de l'espace \(\mathbf{R^n}\), toutes les bases ont le même nombre d'éléments. Ce nombre s'appelle la dimension du sous-espace. La dimension d'un sous-espace de \(\mathbf{R^n}\) est inférieure ou égale à \(n\).

Nous admettrons provisoirement ces résultats, car ils sont démontrés dans le cours d'algèbre linéaire. Nous allons surtout développer une pratique sur les espaces \(\mathbf{R^n}\) et leurs sous-espaces.