Test 2

Durée : 3 mn

Note maximale : 2

Question

Trouver les conditions que doivent vérifier les réels \(m\) et \(p\) pour que l’intégrale \(\displaystyle{J(m,p)=\int_{1}^{+\infty}\frac{t^m}{1+t^p}dt}\) soit convergente.

Solution

Étude au voisinage de \(+\infty\).

  • Si \(p\ge0,~f(x)\sim x^{m-p}\), et l’intégrale est convergente si et seulement si \(m-p<-1\).

    [1 point]

  • Si \(p<0,~f(x)\sim x^m\), et l’intégrale est convergente si et seulement si \(m<-1\).

    [1 point]