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Test B
Le test comporte 5 questions :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
La durée indicative du test est de 30 minutes.
Commencer
Exercice 1

Étudier la nature de l'intégrale impropre .

Exercice 2

Étudier la nature de l'intégrale impropre .

Exercice 3

Étudier la nature de l'intégrale impropre

Méthode

Utiliser un équivalent de la fonction au voisinage de .

Exercice 4

Étudier la nature de l'intégrale impropre .

Méthode

Majoration.

Exercice 5

Étudier la nature de l'intégrale impropre .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Exercice 1
Solution rapide :

L’intégrale est divergente.

La fonction est continue sur l’intervalle , elle est donc localement intégrable sur cet intervalle.

[0.5 point]

On a, pour tout vérifiant , , et l’intégrale est divergente.

[1 point]

Il en est donc de même de l’intégrale .

[0.5 point]

0
1
2
Exercice 2
Solution rapide :

L'intégrale est convergente

Solution détaillée :

La fonction est définie ( ), continue, donc localement intégrable sur l’intervalle .

[0.5 point]

Quand tend vers , on a : , d’où qui est positif.

[2 points]

En comparant à une intégrale de Riemann, on en déduit que l’intégrale est donc convergente.

[1.5 point]

0
1
2
3
4
Exercice 3
Solution rapide :

L’intégrale est convergente.

Solution détaillée :

La fonction est continue donc localement intégrable sur l’intervalle où elle est positive.

[0.5 point]

Quand tend vers , on a et donc . L’intégrale étant convergente, il en est de même de l’intégrale considérée pour la borne .

[1 point]

Quand tend vers , . Pour étudier le comportement de la fonction au voisinage de , on pose : . On est amené à étudier au voisinage de .

[1 point]

On a donc . La fonction est prolongeable par continuité en , et il n’y a pas au voisinage de cette borne de problème de convergence.

[2 points]

En conclusion, l’intégrale est convergente.

[0.5 point]

0
1
2
3
4
5
Exercice 4
Solution rapide :

L’intégrale est convergente si et seulement si .

Solution détaillée :

La fonction est localement intégrable sur l’intervalle , car elle est continue sur cet intervalle.

[0.5 point]

Pour , on a . La fonction est prolongeable par continuité en et il n’y a pas de problème de convergence.

[1 point]

Pour , on pose .

Dans le cas , la fonction est de signe constant négatif et vérifie : . Il existe donc tel que : , i.e. .

L’intégrale est donc divergente.

[1.5 point]

Dans le cas , on a : . On choisit tel que . Il existe donc tel que sur l’intervalle , on ait . On conclut donc à la convergence de l’intégrale.

[1.5 point]

L’intégrale est convergente si et seulement si .

[0.5 point]

0
1
2
3
4
5
Exercice 5
Solution rapide :

L'intégrale est convergente.

Solution détaillée :

Il s’agit de l’intégrale d’une fonction non bornée sur un intervalle borné. La fonction est définie et continue sur l’intervalle , sur lequel elle est donc localement intégrable.

[1 point]

La fonction garde un signe constant négatif sur l’intervalle considéré.

[1 point]

Quand tend vers , on a , d’où l’on déduit : . L’intégrale est de même nature que l’intégrale , c’est-à-dire convergente.

[2 points]

0
1
2
3
4
Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/20
Seuil critique :14
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :30 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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