Exercice 5
Durée : 5 mn
Note maximale : 4
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin t)~dt}\).
Solution
L'intégrale est convergente.
Il s’agit de l’intégrale d’une fonction non bornée sur un intervalle borné. La fonction \(x\mapsto\ln~(\sin x)\) est définie et continue sur l’intervalle \(\displaystyle{\left]0,\frac{\pi}{2}\right]}\), sur lequel elle est donc localement intégrable.
[1 point]
La fonction garde un signe constant négatif sur l’intervalle considéré.
[1 point]
Quand \(x\) tend vers \(0\), on a \(\sin x\sim x\), d’où l’on déduit : \(\ln~(\sin x)\sim\ln x\). L’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin t)~dt}\) est de même nature que l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\ln t~dt}\), c’est-à-dire convergente.
[2 points]