Exercice 4
Durée : 8 mn
Note maximale : 5
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{0}^{1}t^m\ln t~dt}\quad(m\in\mathbb R)\).
Majoration.
Solution
L’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}t^m\ln t~dt}\quad(m\in\mathbb R)\) est convergente si et seulement si \(m>-1\).
La fonction \(t\mapsto t^m\ln t\) est localement intégrable sur l’intervalle \(]0,1]\), car elle est continue sur cet intervalle.
[0.5 point]
Pour \(m>0\), on a \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}x^m\ln x=0}\). La fonction est prolongeable par continuité en \(0\) et il n’y a pas de problème de convergence.
[1 point]
Pour \(m\le0\), on pose \(m'=-m\).
Dans le cas \(m'\ge1\), la fonction \(x\mapsto x^m\ln x\) est de signe constant négatif et vérifie : \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln x}{x^{m'-1}}=-\infty}\). Il existe donc \(h>0\) tel que : \(\displaystyle{\forall x\in]0,h],~\frac{\left|\ln x\right|}{x^{m'-1}}>1}\), i.e. \(\displaystyle{\forall x\in]0,h],~\frac{\left|\ln x\right|}{x^{m'}}>\frac{1}{x}}\).
L’intégrale est donc divergente.
[1.5 point]
Dans le cas \(0\le m'<1\), on a : \(\displaystyle{\forall p>0,\lim_{x\rightarrow0}x^p\ln x=0}\). On choisit \(p>0\) tel que \(m'+p<1\). Il existe donc \(h>0\) tel que sur l’intervalle \(]0,h]\), on ait \(\displaystyle{\frac{\left|\ln x\right|}{x^{m'}}<\frac{1}{x^{m'+p}}}\). On conclut donc à la convergence de l’intégrale.
[1.5 point]
L’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}t^m\ln t~dt\quad(m\in\mathbb R)}\) est convergente si et seulement si \(m>-1\).
[0.5 point]