Exercice 2
Durée : 6 mn
Note maximale : 4
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{t}-\arcsin\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\).
Solution
L'intégrale est convergente
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x}-\arcsin\frac{1}{x}}\) est définie (\(\displaystyle{\forall x\in[1,+\infty[,~0<\frac{1}{x}\le1}\)), continue, donc localement intégrable sur l’intervalle \([1,+\infty[\).
[0.5 point]
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \(\displaystyle{\arcsin\frac{1}{x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6x^3}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)}\), d’où \(\displaystyle{\arcsin\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\sim\frac{1}{6x^3}}\) qui est positif.
[2 points]
En comparant à une intégrale de Riemann, on en déduit que l’intégrale \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{t}-\arcsin\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) est donc convergente.
[1.5 point]