Exercice 1
Durée : 5 mn
Note maximale : 2
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{\sin t}}{t}dt}\).
Solution
L’intégrale est divergente.
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{e^{\sin x}}{x}}\) est continue sur l’intervalle \([1,+\infty[\), elle est donc localement intégrable sur cet intervalle.
[0.5 point]
On a, pour tout \(x\) vérifiant \(x\ge1\), \(\displaystyle{\frac{e^{\sin x}}{x}\ge\frac{e^{-1}}{x}>0}\), et l’intégrale \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t}}\) est divergente.
[1 point]
Il en est donc de même de l’intégrale \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{\sin t}}{t}dt}\).
[0.5 point]