Test 3

Durée : 4 mn

Note maximale : 3

Question

En interprétant les réels \(m\) et \(p\) comme les coordonnées d’un point \(M\) du plan, représenter sur une figure l’ensemble des points pour lesquels l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{t^m}{1+t^p}dt}\) est convergente.

Solution

Pour que l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{t^m}{1+t^p}dt}\) soit convergente, il faut et il suffit que soient réalisées les conditions suivantes :

  • pour \(p\ge0,m>-1\) et \(m<p-1\);

    [0.5 point]

  • pour \(p<0, m>p-1\) et \(m<-1\).

    [0.5 point]

[2 points]