Exercice 2

Partie

Question

Étudier, sans utiliser le lemme d'Abel, la nature de l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t^m}dt,~~(m\in\mathbb R)}\).

Aide simple

Etudier séparément deux intégrales pour voir ce qui se passe aux deux bornes.

Aide détaillée

On étudie séparément les intégrales \(\displaystyle{J=\int_{0}^{1}\frac{\sin t}{t^m}dt}\) et \(K=\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin t}{t^m}dt}\) pour voir ce qui se passe aux deux bornes.

On peut remplacer la borne commune \(1\) par un autre point de l'intervalle \(]0,+\infty[\).

  1. Pour \(J\) :

    la fonction garde un signe constant sur l'intervalle d'intégration et, quand x tend vers 0 on a \(\displaystyle{\frac{\sin x}{x^m}\sim\frac{1}{x^{m-1}}}\).

    Discuter suivant les valeurs de \(m\) : \(m<2\) et \(m\ge2\)

  2. Pour \(K\) :

    Discuter suivant les valeurs de \(m\) : \(m>1\), \(0<m\le1\) et \(m\le0\).

    • si \(m>1\), comparer la fonction \(\displaystyle{\frac{|\sin x|}{x^m}}\) avec la fonction \(\displaystyle{\frac{1}{x^m}}\)

    • si \(0<m\le1\), la fonction \(\displaystyle{t\mapsto\frac{\sin t}{t^m}}\) étant \(C^1\) sur l'intervalle fermé \([1,x]\), on effectue une intégration par parties et on étudie séparément chaque terme de la somme obtenue.

    • si \(m\le0\), il faut montrer que l'intégrale \(K\) est divergente.

      On met en évidence une suite de points, ici \((n\pi)\), tendant vers \(+\infty\), telle que la série de terme général \(\displaystyle{u_n=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\frac{\sin t}{t^m}dt}\) soit divergente.

      Posons \(m'=-m\ge0\) et on étudie \(\displaystyle{u_n=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}t^{m'}\sin t~dt}\) .

Solution simple

L’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t^m}dt}\) est convergente si et seulement si \(0<m<2\).

Solution détaillée

La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\sin x}{x^m}}\) est continue donc localement intégrable sur l’intervalle \(]0,+\infty[\). On étudie séparément les intégrales \(\displaystyle{\int_0^1\frac{\sin t}{t^m}dt}\) et \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t^m}dt}\).

  • Étude de l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^1\frac{\sin t}{t^m}dt}\)

    La fonction garde un signe constant sur l'intervalle d'intégration et, quand \(x\) tend vers \(0\) on a : \(\displaystyle{\frac{\sin x}{x^m}\sim\frac{1}{x^{m-1}}}\).

    L'intégrale \(\displaystyle{\int_0^1\frac{\sin t}{t^m}dt}\) est donc convergente si \(m-1<1\) soit \(m<2\), divergente sinon, (on remarque que si \(m<1\), la fonction est prolongeable par continuité en \(0\)).

  • Étude de l’intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t^m}dt}\)

    Dans le cas \(m>1\), on a, pour tout \(x\ge1\), \(\displaystyle{\frac{|\sin x|}{x^m}\le\frac{1}{x^m}}\). L'intégrale est donc absolument convergente.

    On suppose maintenant \(m\le1\). On distinguera les cas : \(m>0\) et \(m\le0\).

    • Si \(m\) est strictement positif, on a, pour tout \(x\ge1\), en intégrant par parties (ce que l'on peut faire car la fonction \(\displaystyle{t\mapsto\frac{\sin t}{t^m}}\) est de classe \(C^1\) sur l'intervalle fermé \([1,x]\)) :

      \(\displaystyle{\int_1^x\frac{\sin t}{t^m}dt=\left[-\frac{\cos t}{t^m}\right]_1^x-m\int_1^x\frac{\cos t}{t^{m+1}}dt}\).

      L'intégrale \(\displaystyle{\int_1^x\frac{\sin t}{t^m}dt}\) est somme de deux termes. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), le premier terme a une limite et le second est une intégrale absolument convergente. L'intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t^m}dt}\) est donc convergente.

    • Montrons maintenant que pour \(m\le0\), l'intégrale est divergente. On met en évidence une suite de points, ici \((n\pi)\), tendant vers \(+\infty\), telle que la série de terme général \(\displaystyle{u_n=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\frac{\sin t}{t^m}dt}\) soit divergente.

      Posons \(m'=-m\ge0\). On a \(\displaystyle{u_n=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}t^{m'}\sin t~dt}\), d'où, par périodicité de la fonction sinus :

      \(\displaystyle{u_n=(-1)^{n-1}\int_0^\pi(u+(n-1)\pi)^{m'}\sin u~du}\).

      On en déduit, puisque la fonction sinus est positive sur l'intervalle \([0,\pi]\) :

      \(\displaystyle{|u_n|=\int_0^{\pi}(u+(n-1)\pi)^{m'}\sin u~du\ge((n-1)\pi)^{m'}\int_0^{\pi}\sin u~du=2((n-1)\pi)^{m'}}\).

      Il s'ensuit que le terme général \(u_n\) ne tend pas vers \(0\), puis que la série \(\displaystyle{\sum u_n}\) est divergente, et enfin que l'intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t^m}dt}\) est également divergente.

Finalement l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t^m}dt}\) est convergente si et seulement si \(0<m<2\).

Question

En déduire, grâce à un changement de variable, la nature de l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\sin(t^m)~dt,~(m\in\mathbb R)}\).

Solution détaillée

On remarque que si \(m=0\), l’intégrale est divergente.

On distinguera les cas \(m>0\) et \(m<0\).

  • Cas \(m>0\)

    On fait le changement de variable : \(u=t^m\). On a alors : \(\displaystyle{\forall x>0,~\int_0^{x}\sin(t^m)dt=\frac{1}{m}\int_0^{x^m}\frac{\sin u}{u^{\tfrac{m-1}{m}}}du}\).

    Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), il en est de même de \(x^m\). Or, d'après la question précédente, l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin u}{u^{\tfrac{m-1}{m}}}du}\) est convergente si et seulement si \(\displaystyle{0<1-\frac{1}{m}<2}\) c'est-à-dire \(m>1\).

  • Cas \(m<0\)

    On utilise le même changement de variable \(u=t^m\), qui conduit, à partir de l'intégrale \(\displaystyle{\int_{x^m}^{A^m}\sin(t^m)dt}\), \(0<x<A\), à étudier l'intégrale : \(\displaystyle{\frac{1}{m}\int_{x^m}^{A^m}\frac{\sin u}{u^{\tfrac{m-1}{m}}}du=-\frac{1}{m}\int_{A^m}^{x^m}\frac{\sin u}{u^{\tfrac{m-1}{m}}}du}\).

    Lorsque \(x\) tend vers \(0\) et \(A\) vers \(+\infty\), \(x^m\) et \(A^m\) tendent respectivement vers \(+\infty\) et \(0\). D'après la question précédente, l'intégrale \(\displaystyle{\int_{A^m}^{x^m}\frac{\sin u}{u^{\tfrac{m-1}{m}}}du}\) admet donc une limite lorsque \(x\) tend vers \(0\) et \(A\) vers \(+\infty\) si et seulement si \(\displaystyle{0<1-\frac{1}{m}<2}\) c'est-à-dire \(m<-1\). Lorsque \(m<-1\), on obtient :

    \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\sin(t^m)~dt=-\frac{1}{m}\int_0^{+\infty}\frac{\sin u}{u^{\tfrac{m-1}{m}}}du}\).

Conclusion : l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\sin(t^m)~dt}\) est convergente si et seulement si \(|m|>1\).