Exercice 4
Partie
Soit \(f\) une fonction réelle uniformément continue sur l’intervalle \([0,+\infty[\), telle que l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}f(t)dt}\) soit convergente.
Soit \(f\) une application d'un intervalle \(I\) dans \(\mathbb R\); on dit que \(f\) est uniformément continue sur \(I\) si :
\(\forall\epsilon>0,~\exists\delta>0,~\forall x\in I,~\forall x'\in I~~(|x-x'|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x')|<\epsilon)\).
Pour plus de détails, vous pouvez par exemple consulter le chapitre "Fonctions continues sur un intervalle" du module "Etude globale des fonctions" d'Université en Ligne.
Question
Montrer que la fonction \(f\) a une limite nulle quand \(x\) tend vers l'infini.
Solution détaillée
Raisonnons par l’absurde.
On suppose que la fonction \(f\) ne tend pas vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) :
\(\exists\alpha>0, \forall A>0,\exists x>A,~f(x)>\alpha\).
En prenant pour \(A\) successivement les éléments d’une suite qui tend vers \(+\infty\), par exemple la suite des entiers, on définit une suite \((x_n)\) telle que, pour tout \(n\), on ait : \(x_n>n\) et \(|f(x_n)|>\alpha\).
La fonction \(f\) étant uniformément continue sur l’intervalle \([0,+\infty[\) :
\(\displaystyle{\exists h>0,~\forall x>0,~\forall x'>0,~|x'-x|\le h\Rightarrow|f(x')-f(x)|<\frac{\alpha}{2}}\).
D’après la première formule de de la moyenne, il existe \(\theta_n\in[x_n-h,x_n+h]\) tel que :
\(\displaystyle{\int_{x_n-h}^{x_n+h}f(t)~dt=2hf(\theta_n)}\).
Par inégalité triangulaire, on a :
\(\displaystyle{|f(\theta_n)|=|f(x_n)-[f(x_n)-f(\theta_n)]|\ge|f(x_n)-f(\theta_n)|>\alpha-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}}\).
Il s’ensuit : \(\displaystyle{\left|\int_{x_n-h}^{x_n+h}f(t)~dt\right|\ge\epsilon}\) avec \(\epsilon=\alpha h\).
On a donc montré : \(\displaystyle{\exists\epsilon>0,~\forall B,\exists x\ge B,~\exists y\ge B,~\left|\int_{x}^{y}f(t)~dt\right|\ge\epsilon}\).
Ce qui est la négation du critère de Cauchy pour les intégrales impropres.
Question
En déduire que l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\sin(\sin t)dt}\) est divergente.
Aide simple
Raisonner par l’absurde en supposant que \(f\) ne tend pas vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), et montrer alors que le critère de Cauchy n’est pas vérifié.
Solution détaillée
La fonction \(\displaystyle{f : x\mapsto\sin(\sin x)}\) est uniformément continue sur \(\mathbb R\) car elle est lipchitzienne sur \(\mathbb R\).
En effet, on a \(\forall x\in\mathbb R,~f'(x)=\cos x\cos(\sin x)\) et donc \(\forall x\in\mathbb R,~|f'(x)|\le1\).
Raisonnons par l'absurde. D'après la question précédente, si l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\sin(\sin t)~dt}\) était convergente, la fonction \(f\) tendrait vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), ce qui n'est pas le cas. Il s'ensuit que l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\sin(\sin t)~dt}\) est divergente.