Exemples de calcul d'intégrales impropres

On remarque qu’il ne s’agit pas de montrer la convergence d’une intégrale au sens défini dans le cours.

La fonction \(\displaystyle{f : x\mapsto\frac{1}{(1+x^2)~\sqrt[3]{\sin^2x}}}\) n’est pas localement intégrable sur \(]0,+\infty[\) : elle n’est pas définie aux points \(n\pi\) \((n\in\mathbb N)\) et tend vers \(+\infty\) au voisinage de ces points.

Elle est positive sur tout l’intervalle \(]0,+\infty[\).

On pose \(\displaystyle{g : x\mapsto\frac{1}{\sqrt[3]{\sin^2x}}}\). La fonction \(g\) est localement intégrable sur l’intervalle \(]0,\pi[\), et tend vers \(+\infty\) aux deux bornes.

On étudie donc les intégrales \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{dt}{\sqrt{3}{\sin^2t}}}\) et \(\displaystyle{\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{dt}{\sqrt{3}{\sin^2t}}}\).

Quand \(x\) tend vers \(0\), on a : \(\displaystyle{g(x)\sim\frac{1}{x^{\tfrac{2}{3}}}}\). Comme \(\displaystyle{\frac{2}{3}<1}\), l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{dt}{\sqrt{3}{\sin^2t}}}\) est donc convergente.

On montre de même, par exemple en faisant le changement de variable \(u=\pi-t\), que l’intégrale \(\displaystyle{\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{dt}{\sqrt{3}{\sin^2t}}}\) est convergente.

Sur tout intervalle \(]n\pi,(n+1)\pi[,~(n\in\mathbb N)\), on a : \(\displaystyle{0<\frac{1}{(1+x^2)~\sqrt[3]{\sin^2x}}<\frac{1}{\sqrt[3]{\sin^2x}}}\).

On en déduit les inégalités suivantes, sur tout intervalle fermé \([x_1,x_2]\subset]n\pi,(n+1)\pi[\) :

\(\displaystyle{0<\int_{x_1}^{x_2}\frac{dt}{(1+t^2)~\sqrt[3]{\sin^2t}}<\int_{x_1}^{x_2}\frac{dt}{\sqrt[3]{\sin^2t}}}\).

Quand \(x_1\) tend vers \(n\pi\), \((n\in\mathbb N)\) et \(x_2\) vers \((n+1)\pi\), \((n\in\mathbb N)\), l’intégrale \(\displaystyle{\int_{x_1}^{x_2}\frac{dt}{\sqrt[3]{\sin^2t}}}\) a une limite qui, compte tenu de la périodicité de la fonction \(g\) est : \(\displaystyle{\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{dt}{\sqrt[3]{\sin^2t}}=\int_0^{\pi}\frac{dt}{\sqrt[3]{\sin^2t}}}\). L’intégrale \(\displaystyle{\int_{x_1}^{x_2}\frac{dt}{(1+t^2)\sqrt[3]{\sin^2t}}}\) a donc également une limite.

Plus précisément, on a sur tout intervalle \(]n\pi,(n+1)\pi[\), \((n\ge0)\), \(\displaystyle{0<\frac{1}{1+x^2}\le\frac{1}{(1+n^2\pi^2)}}\), d’où l’on déduit :

\(\displaystyle{0<\frac{1}{(1+x^2)\sqrt[3]{\sin^2x}}<\frac{1}{(1+n^2\pi^2)\sqrt[3]{\sin^2x}}}\).

Par conséquent \(\displaystyle{\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{dt}{(1+t^2)\sqrt[3]{\sin^2t}}<\frac{1}{1+n^2\pi^2}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{dt}{\sqrt[3]{\sin^2t}}=\frac{K}{1+n^2\pi^2}}\) où \(\displaystyle{K=\int_{0}^{\pi}\frac{dt}{\sqrt[3]{\sin^2t}}}\)

La série \(\displaystyle{\sum\frac{1}{1+n^2\pi^2}}\) est convergente. On peut donc écrire :

\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=0}^n\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{dt}{(1+t^2)\sqrt[3]{\sin^2t}}<K\sum_{k=0}^n\frac{1}{1+k^2\pi^2}<K\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2\pi^2}}\) .

La suite croissante \((S_n)\) est majorée, elle a donc une limite. On a donc, pour tout \(x>0\) : \(\displaystyle{\int_0^xf(t)~dt<K\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2\pi^2}}\).

La fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par : \(\displaystyle{x\mapsto\int_0^x\frac{dt}{(1+t^2)~\sqrt[3]{\sin^2t}}}\) est positive. Elle est croissante et bornée. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), elle a donc une limite.

C’est en ce sens que l’on peut dire que l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)~\sqrt[3]{\sin^2t}}}\) existe.