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Définition
Définition

On définit une application d'un ensemble dans un ensemble en se donnant son graphe ; ce sous-ensemble possède la propriété suivante :

pour tout de il y a un unique tel que le couple appartient à Pour tout de soit l'unique point de tel que

Notation

On note l'application

est l'ensemble de définition (ou ensemble de départ), est l'ensemble d'arrivée ;

si est l'image de l'élément de et est un antécédent de l'élément de

N'oubliez pas

À un élément de l'ensemble de définition est associée une image et une seule. Par contre un élément de l'ensemble d'arrivée peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Exemple
  • Les fonctions numériques étudiées au lycée.

  • Les transformations géométriques que vous avez étudiées au lycée sont suivant les cas, des applications du plan dans le plan, (par exemple une translation ou une rotation autour d'un point, etc), ou des applications de l'espace dans l'espace, (par exemple une symétrie orthogonale par rapport à un plan), ou des applications de l'espace dans un plan, (par exemple une projection orthogonale sur ce plan).

  • A tout produit de deux ensembles et on peut associer deux applications appelées ses deux projections canoniques :

    première projection

    deuxième projection

  • A tout ensemble est associée une application appelée application identique de notée

    On a donc : Le graphe de est la diagonale de c'est à dire le sous-ensemble

  • Voici une fonction très bizarre appelée fonction de Dirichlet, qu'on ne peut pas représenter, (essayez !) :

    avec si et sinon.

Ces différents exemples doivent vous montrer que la notion d'application est une notion très générale qui intervient dans tous les secteurs des mathématiques.

Légende :
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S'évaluer
S'exercer
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