Composition d'applications
Lorsque l'on a deux applications\( f : E\rightarrow F\) et \(g : F\rightarrow G,\) on peut définir une troisième application appelée composée des deux applications \(f\) et \(g\) et notée \(g \circ f,\) (attention à l'ordre d'écriture !) :
\(\boxed{g \circ f : E\rightarrow G, ~~x \mapsto (g \circ f)(x) = g(f(x))}\)
Attention :
Ce produit n'est en général pas commutatif.
Par exemple, si on considère les fonctions numériques \(f(x) = \sin x\) et \(g(x) = x^ 2,\) on a :
\((g \circ f)(x) = \sin^2 (x)\) et \((f \circ g)(x) = \sin (x^ 2)\)
Et si \(f(x) = - x^2\) et \(g(x) = \ln (x),\) alors \(f \circ g (x) = - (\ln (x))^ 2,\) alors que \(g \circ f\) n'est pas définie !