Images
Image d'un ensemble par une application
Soit une application \(f : E\rightarrow F,~~ x \mapsto f(x).\) A tout sous ensemble \(A\) de \(E,\) on associe un sous ensemble de \(F\) appelé image de \(A\) et noté \(f(A)\) :
\(\boxed{f(A) = \{ y\in F ~|~\exists x\in A,~ f(x) = y\}}\)
Exemple :
\(f(E)\) est une partie de \(F.\) On s'intéressera plus loin au cas \(f(E) = F.\)
On a toujours \(f(\emptyset) = \emptyset.\)
Image réciproque d'un ensemble par une application
On a une application \(f : E\rightarrow F,~~ x \mapsto f(x).\) À tout sous ensemble \(B\) de \(F,\) on associe un sous ensemble de \(E\) appelé image réciproque de \(B\) et noté \(f^{-1}(B)\) :
\(\boxed{f^{-1}(B) = \{ x\in E~ |~ f(x)\in B\}}\)
Attention :
Cette notation est mauvaise, mais elle est toujours utilisée dans les livres. En effet, ici, \(f^{-1}\) n'est pas une application réciproque, au sens des applications usuelles : en général \(f\) n'a pas d'application réciproque. C'est une application qui à un ensemble \(B\subset F,\) fait correspondre un ensemble \(f^{-1}(B),\) \(f^{-1}(B)\subset E,\) c'est à dire une application de \(\color{red}P\color{black} (F)\rightarrow \color{red}P \color{black}(E)\)