Propriétés

Nous avons vu que dans une application, tout élément de l'ensemble de départ avait une image et une seule. Si nous cherchons à savoir si la correspondance qui à\( y\in F\) associe \(x\in E\) est une application, nous sommes amenés à nous poser la question :

\(\boxed{\textrm{combien un élément de F a-t-il d'antécédents ?}}\)

Si chaque \(y\) a un et un seul antécédent, on pourra définir ce qu'on appelle l'application réciproque de l'application donnée. Toutefois il est intéressant de décomposer la propriété : chaque \(y\) a un et un seul antécédent en deux propriétés :

  • chaque \(y\) a au moins un antécédent dans \(E\)

  • chaque \(y\) a au plus un antécédent dans \(E\)

et nous distinguerons certaines applications suivant la réponse qu'elles apportent à ces questions.

DéfinitionInjection

Une application \(f : E\rightarrow F\) est injective si tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent, (peut-être aucun) :

\((f~\textrm{injective})\Leftrightarrow x\in E,~\forall x'\in E, ~(x\neq x' \Rightarrow f(x)\neq f(x'))\)

Cette propriété peut aussi s'écrire (par contraposition) :

\((f~\textrm{ injective })\Leftrightarrow x\in E,\forall ~ x'\in E, (f(x) = f(x')\Rightarrow x = x')\)

Si on considère l’application numérique

\(f : E\rightarrow\mathbb R, ~x \mapsto f(x)\)

fonction d'une variable réelle \(x,\) définie sur un sous-ensemble \(E\) de \(\mathbb R,\) les propriétés suivantes sont équivalentes et traduisent l'injectivité :

  1. tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au plus un point de l'ensemble de départ, (peut-être d'aucun) ;

  2. toute parallèle à \(Ox\) coupe le graphe en au plus un point, (peut-être ne le coupe pas) ;

  3. toute équation \(f(x) = \alpha\) a au plus une solution, (peut-être aucune).

DéfinitionSurjection

Applications surjectives : Une application \(f : E\rightarrow F\) est surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, (peut-être plusieurs) :

\((f~\textrm{surjective} )\Leftrightarrow (\forall y\in F,~\exists x\in E,~ y = f(x))\)

\((f~\textrm{surjective})\Leftrightarrow (f(E) = F)\)

Si on considère des applications numériques, \(f : E\rightarrow \mathbb R~~x \mapsto f (x)\) fonctions d'une variable réelle \(x,\) définies sur un sous-ensemble \(E\) de \(\mathbb R\)les propriétés suivantes sont équivalentes et traduisent la surjectivité :

  1. tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au moins un point de l'ensemble de départ, (peut-être de plusieurs) ;

  2. toute parallèle à \(Ox\) coupe le graphe en au moins un point, (peut-être en plusieurs points) ;

  3. toute équation \(f(x) = \alpha\) a au moins une solution.

Si \(f\) est surjective, on dit parfois que \(f\) est une application de \(E\) sur \(F.\)

Toute application \(f : E\rightarrow F\) définit une application surjective

\(f : E\rightarrow f(E)\)

DéfinitionBijection

Une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Tout élément de l'espace d'arrivée \(F\) a un antécédent et un seul dans \(E.\)

Alors, et seulement dans ce cas, on peut définir une application de \(F\) dans \(E,\) qu'on appelle application réciproque de \(f\) et qu'on note \(f^{-1}\) qui vérifie les propriétés suivantes :

  • \(\forall x\in E,~ \forall y\in F,~ [y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)]\)

  • \(f^{-1} \circ f = Id_E~\textrm{et}~ f \circ f^{-1} = Id_F\)

  • \(f^{-1}\) est elle même une bijection. En effet, chaque élément \(x\) de \(E\) a un et un seul antécédent par \(f^{-1},\) puisqu'il a une et une seule image par \(f\) par définition de l'application \(f.\)