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Propriétés

Nous avons vu que dans une application, tout élément de l'ensemble de départ avait une image et une seule. Si nous cherchons à savoir si la correspondance qui à associe est une application, nous sommes amenés à nous poser la question :

Si chaque a un et un seul antécédent, on pourra définir ce qu'on appelle l'application réciproque de l'application donnée. Toutefois il est intéressant de décomposer la propriété : chaque a un et un seul antécédent en deux propriétés :

  • chaque a au moins un antécédent dans

  • chaque a au plus un antécédent dans

et nous distinguerons certaines applications suivant la réponse qu'elles apportent à ces questions.

Définition : Injection

Une application est injective si tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent, (peut-être aucun) :

Cette propriété peut aussi s'écrire (par contraposition) :

Si on considère l'applications numérique

fonction d'une variable réelle définie sur un sous-ensemble de les propriétés suivantes sont équivalentes et traduisent l'injectivité :

  1. tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au plus un point de l'ensemble de départ, (peut-être d'aucun) ;

  2. toute parallèle à coupe le graphe en au plus un point, (peut-être ne le coupe pas) ;

  3. toute équation a au plus une solution, (peut-être aucune).

Définition : Surjection

Applications surjectives : Une application est surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, (peut-être plusieurs) :

Si on considère des applications numériques, fonctions d'une variable réelle définies sur un sous-ensemble de les propriétés suivantes sont équivalentes et traduisent la surjectivité :

  1. tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au moins un point de l'ensemble de départ, (peut-être de plusieurs) ;

  2. toute parallèle à coupe le graphe en au moins un point, (peut-être en plusieurs points) ;

  3. toute équation a au moins une solution.

Si est surjective, on dit parfois que est une application de sur

Toute application définit une application surjective

Définition : Bijection

Une application de dans est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. Tout élément de l'espace d'arrivée a un antécédent et un seul dans

Alors, et seulement dans ce cas, on peut définir une application de dans qu'on appelle application réciproque de et qu'on note qui vérifie les propriétés suivantes :

  • est elle même une bijection. En effet, chaque élément de a un et un seul antécédent par puisqu'il a une et une seule image par par définition de l'application

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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