| Une exception : la démonstration par l'absurde |
Il est quelquefois nécessaire d'utiliser cette technique particulière de démonstration. Elle consiste à ajouter comme hypothèse la négation du but, le nouveau but étant alors une contradiction, c'est à dire une propriété du type
où
est une propriété quelconque, qui ne figure pas nécessairement dans l'énoncé.
Ne pas abuser des démonstrations par l'absurde : quand il y a une démonstration directe et naturelle, il est lourd de présenter les choses par l'absurde. En particulier, pour démontrer une implication
une démonstration du style " supposons que
est fausse, ...donc
est fausse. " est une démonstration par contraposition, et pas une démonstration par l'absurde !
Montrer que
est irrationnel
Pas d'objet donné, pas d'hypothèse,
but :
n'est pas un quotient d'entiers.
Démontrons cette propriété par l'absurde : supposons
rationnel ; on peut écrire
où
et
sont deux entiers (constater l'introduction de nouveaux objets). Quitte à simplifier la fraction par
autant de fois qu'il le faut, on se ramène au cas où
et
ne sont pas pairs tous les deux.
On a alors
Le second membre de cette égalité est pair, donc le premier aussi, ce qui montre que
est pair, car le carré d'un nombre ne peut être pair que si ce nombre est pair. En écrivant
où
est entier, on obtient
puis
ce qui montre par la méthode déjà utilisée que
est pair.
En rapprochant les trois propriétés écrites en caractères penchés, on obtient la contradiction cherchée (la formule
étant par exemple
pair et
pair " ). Le nombre
est donc irrationnel.
