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Une exception : la démonstration par l'absurde

Il est quelquefois nécessaire d'utiliser cette technique particulière de démonstration. Elle consiste à ajouter comme hypothèse la négation du but, le nouveau but étant alors une contradiction, c'est à dire une propriété du type est une propriété quelconque, qui ne figure pas nécessairement dans l'énoncé.

Ne pas abuser des démonstrations par l'absurde : quand il y a une démonstration directe et naturelle, il est lourd de présenter les choses par l'absurde. En particulier, pour démontrer une implication une démonstration du style " supposons que est fausse, ...donc est fausse. " est une démonstration par contraposition, et pas une démonstration par l'absurde !

Montrer que est irrationnel

Pas d'objet donné, pas d'hypothèse,

but : n'est pas un quotient d'entiers.

Démonstration

Démontrons cette propriété par l'absurde : supposons rationnel ; on peut écrire et sont deux entiers (constater l'introduction de nouveaux objets). Quitte à simplifier la fraction par autant de fois qu'il le faut, on se ramène au cas où et ne sont pas pairs tous les deux.

On a alors Le second membre de cette égalité est pair, donc le premier aussi, ce qui montre que est pair, car le carré d'un nombre ne peut être pair que si ce nombre est pair. En écrivant est entier, on obtient puis ce qui montre par la méthode déjà utilisée que est pair.

En rapprochant les trois propriétés écrites en caractères penchés, on obtient la contradiction cherchée (la formule étant par exemple pair et pair " ). Le nombre est donc irrationnel.

Légende :
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