Mathématiques
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Quantificateurs et démonstration

Le but de cette section est de donner une aide pour les démonstrations où interviennent, de façon implicite ou explicite, des quantificateurs. Il n'y a pas (malheureusement ? heureusement ?) de recette pour démontrer une propriété mathématique, mais on essaiera ici de donner un guide permettant presque toujours d'y voir plus clair en comprenant mieux ce qu'il y a à faire, en se construisant un plan raisonnable de démonstration.

Les interventions de formules quantifiées, explicites ou implicites, dans une démonstration se font (si l'on excepte le départ d'une démonstration par l'absurde qui modifie les hypothèses et le but) en utilisant les quatre règles suivantes.

Formules universelles

signifie que pour tout est vraie, donc :

règle 1

Pour démontrer une propriété universelle (du type on prend un quelconque (c'est-à-dire que l'on ne suppose rien a priori sur cet et on démontre que est vraie. On exprimera dans la démonstration que l'on prend cet x en écrivant quelque chose du genre "soit ou "prenons un quelconque"...

règle 2

Pour utiliser une propriété (hypothèse) universelle (du type on cherche un particulier intéressant (quelquefois plusieurs), et on peut alors utiliser la propriété

Formules existentielles

signifie qu'il existe un tel que est vraie, donc :

règle 3

Pour démontrer une propriété existentielle (du type on construit (synonymes : on trouve, on fabrique, ...) un et on démontre pour cet la propriété

règle 4

Pour utiliser une propriété (hypothèse) existentielle (du type on prend un ayant la propriété Cela peut se faire en écrivant quelque chose du genre "considérons tel que ou "prenons un tel que ou simplement "il existe tel que (noter dans cette dernière expression que "il existe" écrit en toutes lettres peut signifier dans ce contexte, non seulement que l'on affirme l'existence d'un ce que la formule fait, mais en plus qu'on en prend un, fixé pour la suite de la démonstration, ce que la formule ne fait pas !). Une fois qu'on a pris cet on peut utiliser la propriété (attention, c'est tout ce qu'on sait sur

Exemple

Voyons ci-dessous un exemple commenté dans lequel on est amené à exploiter ces règles. On trouvera successivement un énoncé d'exercice, une réflexion sur la façon de lui trouver une démonstration, la rédaction de la démonstration obtenue (ce n'est pas la même chose !), et enfin quelques considérations critiques sur celle-ci.

Énoncé.

Montrer que si est une injection, et et deux parties de alors

Décortication de l'énoncé

Regardons d'abord l'hypothèse

injective" ; elle se traduit par la formule universelle

On ne peut l'utiliser tout de suite car on ne dispose ni de ni de intéressants pour pouvoir l'utiliser. Prendre un et un quelconques ici ne servirait à rien.

Regardons maintenant le but

(ici comme souvent c'est par là qu'il est bon de commencer). Il peut s'écrire :

On va donc prendre un quelconque dans et essayer de démontrer l'implication

Pour cela, on commence par supposer et il reste à démontrer Or signifie ; il nous faut donc trouver un tel que... mais nous n'avons pas encore un tel sous la main ; il faut donc continuer autrement.

Construction d'une démonstration

On sait que autrement dit que et que ; or signifie que on va donc prendre un tel en disant "prenons tel que De même va nous donner un tel que (attention, il faut prendre ici une autre notation que en effet signifie bien mais il ne faut pas oublier que nous avons déjà un dans le problème ; dit que a un antécédent dans mais ne nous dit pas s'il s'agit de

On sait maintenant que que que et que donc en particulier que C'est le bon moment pour utiliser l'hypothèse injective" : nous avons maintenant et dans pour exploiter cette hypothèse. Comme on tire Ainsi est un élément commun à et donc

On a fabriqué un tel que ; on peut donc conclure que et atteindre le but.

Rédaction de la démonstration

Notre recherche de démonstration est ainsi terminée. Il nous reste à rédiger cette démonstration. Voici dans l'encadré ci-dessous la rédaction telle qu'on pourrait la trouver dans une bonne copie.

Soit ; supposons Comme il existe tel que ; de même puisque il existe tel que

Ainsi d'où car est injective.

Alors et donc et

Conclusion :

Notez
  • Combien de quantificateurs, de ... ont été écrits dans cette démonstration ?

  • Comment les formules quantifiées de la partie recherche sont-elles évoquées ?

  • À quels endroits et de quelle façon les notations sont-elles introduites ? Il s'agit ici des notations et car et sont données par l'énoncé et n'ont donc pas à être introduites.

  • À quels endroits et de quelles façons les hypothèses sont-elles utilisées ?

"Rédaction" déconseillée

On trouve souvent dans les copies des suites de formules en guise de démonstration. Sur l'exemple précédent, jugez-vous même de la clarté d'une telle rédaction :

D'accord, elle donne l'égalité et pas seulement l'inclusion, mais à quel prix pour la clarté ! Et de toutes façons l'autre inclusion est très facile --- rédigez-la.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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