Rédaction

\("\forall"\) et \("\exists"\) doivent être suivis d'une seule lettre, notation non encore définie dans le texte antérieur. Par exemple, si \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) est une suite de nombres réels positifs, on écrira :

\(\forall n, ~( n\in\mathbb N\Rightarrow x_n > 0)\)

ou

\(\forall n\in\mathbb N,~ x_n > 0\)

qui en est une abréviation, mais surtout pas :

\(\forall x_n,~ x_n > 0\)

Un \("\forall x",\) ou un \("\exists x"\) commençant une formule doit être suivi d'une (sous-) formule complète, par exemple :

\(\forall x,~ (x\in\mathbb R\Rightarrow x^2\geq 0)\)

\(\exists z,~ (z\in\mathbb C~et~ z^2 = -1)\)

mais on écrit souvent les formules de ce type sous les formes respectives suivantes :

\(\forall x\in\mathbb R,~ x^2\geq 0\)

\(\exists z\in\mathbb C,~ z^2 = -1\)

\("\forall"\) et \("\exists",\) suivis d'une lettre, définissent cette lettre comme notation pour la suite de la formule que l'on écrit (par exemple, dans \("\forall x,~x\notin  \emptyset",\) le deuxième \(x\) est défini par le quantificateur), mais pas pour la suite de la démonstration :

Si \(A\) est un ensemble donné, et si on a démontré \("\exists x,~ x\in A",\) \("x"\) n'est pas une notation définie dans le reste du problème ; si on a besoin d'utiliser un élément de \(A,\) on en définira explicitement un par "Soit \(x\) un élément de \(A"\) (on tolère généralement dans ce cas l'abus de langage "Soit \(x\in A",\) et dans le même ordre d'idée "Soit \(\epsilon > 0"\) pour "Soit \(\epsilon\) un nombre réel strictement positif").

Ceci est particulièrement important, car la définition correcte des termes utilisés est essentielle à une bonne démonstration.

Toutes les notations utilisées dans une formule doivent être définies, soit par des quantificateurs placés avant dans la formule, soit dans le texte précédent (ou l'énoncé).