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Théorème de Gauss et polynômes irréductibles

Les propriétés suivantes pourraient faire l'objet d'exercices, mais comme elles sont très utiles dans la pratique, elles sont énoncées dans le cours. Ce sont des applications immédiates de la définition d'un polynôme irréductible et du théorème de Gauss. Les mêmes théorèmes existent dans .

Proposition : PGCD d'un polynôme et d'un polynôme irréductible

Soient et deux éléments de avec non nul et polynôme irréductible sur . Alors ou bien divise ou bien ils sont premiers entre eux.

Preuve

Soit le PGCD de et . Le polynôme est donc un polynôme unitaire et il divise . Or est irréductible.

Donc ou bien est le polynôme constant égal à 1et et sont premiers entre eux, ou bien est de la forme , où est une constante non nulle (égale à l'inverse du coefficient dominant de ). Alors, dans ce dernier cas, on en déduit que divise . Ce qui achève la démonstration.

Proposition : Polynôme irréductible divisant un produit

Soient , et des éléments de , avec irréductible sur . Si le polynôme divise , alors divise ou divise .

Autrement dit si un polynôme irréductible divise un produit de polynômes, il divise l'un des polynômes.

La démonstration de cette proposition est basée sur le théorème de Gauss.

Soit un polynôme irréductible divisant .

Supposons qu'il ne divise pas le polynôme . Alors d'après la proposition précédente, il est premier avec .

On peut donc appliquer le théorème de Gauss et divise .

Légende :
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