Mathématiques
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Fonctions symétriques des racines
Le test comporte 2 questions :
Racine égale à la somme des deux autres
Résolution d'un système symétrique non linéaire
La durée indicative du test est de 25 minutes.
Commencer
Racine égale à la somme des deux autres
  1. Soit le polynôme , , élément de

    Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur , pour qu'une racine de soit égale à la somme des deux autres racines.

    (On pourra utiliser la fonction symétrique somme des racines .

  2. Trouver les racines, dans , du polynôme

Résolution d'un système symétrique non linéaire
  1. Soit , un polynôme à coefficients complexes, dont les racines sont notées

    Soit

    en fonction de puis en fonction des coefficients b,c,d.

  2. Soit le système aux trois inconnues complexes

    a. Démontrer que le triplet de complexes est solution de si et seulement si les nombres sont les racines du polynôme

    b.Trouver l'ensemble des triplets solutions du système

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Racine égale à la somme des deux autres

1. Recherche d'une condition nécessaire (6 pts)

Comme tout polynôme de degré 3, de , .P possède trois racines complexes

Supposons

Alors D'où est une racine de .Ce qui se traduit par

La relation est une condition nécessaire.

Vérification que cette relation est une condition suffisante (4 pts)

Supposons , alors est une racine de , d'après .

Si on nomme et les deux autres racines de , .

D'où

Ce qui prouve qu'une racine de P est égale à la somme des deux autres racines.

Conclusion : La relation est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une racine de P soit égale à la somme des deux autres racines.

2. (10 pts)

Le polynôme admet les mêmes racines que avec

Les coefficients de vérifient la relation

Donc est racine de et de .

La division euclidienne de par s'écrit

Pour trouver les racines de , on peut calculer le discriminant

Alors

Conclusion : L'ensemble des racines, dans , de est

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Résolution d'un système symétrique non linéaire

1. Rappel

Calcul de U (5 pts)

Calcul de V (5 pts)

Tout d'abord d étant non nul, le nombre 0 n'est pas racine de P, les ne sont pas nuls et sont inversibles dans

2.a Sens direct (3 pts)

Soit les nombres complexes non nuls x, y, z, ils sont les racines du polynôme

Si le triplet (x,y,z) est solution de (S), alors

En utilisant les résultats de la question 1), les nombres satisfont à

Donc les nombres sont les racines du polynôme

Réciproque (2 pts)

Si les nombres sont les racines du polynôme la question 1. entraîne

Donc le triplet satisfait aux trois relations :

c'est à dire est une solution de

2.b Recherche des racines de (3 pts)

On remarque par exemple que

Donc les racines de sont les nombres -1,1,2.

On aurait pu constater que donc est divisible par et le quotient est un trinôme du second degré dont on sait calculer les racines.

Conclusion : (2 pts)

Les expressions sont des fonctions symétriques en x, y , z.

Enfin tout triplet construit avec les trois racines de est solution de et il n'y en a pas d'autre.

L'ensemble des solutions de est donc

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Bilan
Nombre de questions :2
Score obtenu :/40
Seuil critique :28
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :25 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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