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Formule de Taylor et racines multiples
Le test comporte 5 questions :
Développement de Taylor
PGCD d'un polynôme et de son polynôme dérivé
Ordre de multiplicité d'une racine
Racine d'ordre 4
Calcul du reste d'une division euclidienne
La durée indicative du test est de 45 minutes.
Commencer
Développement de Taylor

Soit, dans , le polynôme

Exprimer comme combinaison linéaire des puissances de

PGCD d'un polynôme et de son polynôme dérivé

Soit le polynôme de , .

Donner le de et de son polynôme dérivé , sans calculer et en justifiant soigneusement le résultat.

Ordre de multiplicité d'une racine

Soit et deux réels et le polynôme

  1. Montrer que si le réel 1 est racine de , son ordre de multiplicité est au moins 2.

  2. Existe-t-il des réels et tels que le réel 1 soit racine de d'ordre supérieur à 2 ? Si oui, quel est alors son ordre de multiplicité.

  3. Reprendre les questions précédentes en remplaçant 1 par -1.

Racine d'ordre 4

Soient des réels et le polynôme

  1. On se propose de rechercher tous les triplets tels que P admette une racine réelle d'ordre 4.

    a . Donner une condition nécessaire et suffisante, utilisant et ses dérivées successives, pour que le réel soit une racine d'ordre 4 de

    b . Montrer que, si le réel a est une racine d'ordre 4 de , il appartient à un ensemble de trois réels qu'on décrira.

    c . Terminer la recherche proposée.

  2. Pour chaque triplet trouvé :

    a . Calculer le quotient de par sans poser la division.

    b . En déduire les racines de dans puis dans

Calcul du reste d'une division euclidienne

Soit le corps ou le corps , un élément de trois éléments distincts de .

On note les restes des divisions euclidiennes de respectivement par

Exprimer le reste de la division euclidienne de P par

en fonction de

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Développement de Taylor

D'après la formule de Taylor dans , le degré de étant égal à 4,

On calcule donc les dérivées successives de .

On en déduit

D'où ~~~~(2pts)

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PGCD d'un polynôme et de son polynôme dérivé

Résultat (5 pts)

Justification (5 pts)

Le polynôme possède trois racines réelles.

Le scalaire 2 est une racine d'ordre 4 de donc est une racine d'ordre 3 de .

Le scalaire -1 est une racine d'ordre 3 de donc est une racine d'ordre 2 de .

Enfin le scalaire 5 est une racine simple de donc n'est pas une racine de .

Alors ,le polynôme n'étant divisible par aucun des polynômes :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ordre de multiplicité d'une racine

1. (3 pts)

Supposons 1 racine de alors donc c'est-à-dire

On en déduit

Ainsi

Conclusion : Si 1 est racine de c'est une racine au moins double.

2. (7 pts)

"1 racine de d'ordre au moins 3" équivaut à

Or d'après les calculs précédents

Ainsi la réponse à la question est "oui".

Alors

Dans ce cas l'ordre de la racine 1 est 4.

3. (5 pts) La démarche est analogue si on remplace 1 par -1.

Donc dès que est racine de , il est aussi racine de donc racine au moins double.

De même

Ainsi il existe des réels tels que -1 soit racine de d'ordre supérieur à 2.

Alors

Dans ce cas l'ordre de la racine -1 est 4.

0
1
2
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Racine d'ordre 4

1.a (4 pts) Soit la propriété : P admet a comme racine réelle d'ordre 4.

On calcule donc les dérivées successives de P.

Alors

1.b (3 pts) Supposons racine d'ordre 4 de alors d'après la 4ième équation . Donc c'est l'un des trois réels 0, 1 ou -1.

Ainsi

1.c (5 pts) On va examiner trois cas :

1er cas : recherche de pour que 0 soit racine d'ordre 4 de , propriété notée (1).

Le système a une solution unique

2ième cas : recherche de pour que 1 soit racine d'ordre 4 de , propriété notée (2).

Le système a une solution unique

3ième cas : recherche de pour que -1 soit racine d'ordre 4 de , propriété notée (3).

Le système a une solution unique

Il y a ainsi trois triplets solutions .

2.

1er cas (2 pts) :

Le polynôme possède trois racines réelles .Ce sont aussi ses racines dans C.

2ième cas (3 pts) : .

En examinant les coefficients dominants et les termes constants,

on obtient .

Donc

En prenant les valeurs des fonctions polynômes associées au point , on obtient ,

d'où

Ainsi

Le discriminant du polynôme vaut donc ce polynôme n'a pas de racine réelle.

Dans ce cas, a une unique racine réelle : 1, et trois racines dans : 1,-2+i,-2-i

3ième cas (3 pts) :

Par un raisonnement analogue au cas précédent,

Alors et en prenant les valeurs des fonctions polynômes associées au point 1, on obtient ,d'où

Ainsi

Dans ce cas, P a une unique racine réelle : -1 ,et trois racines dans :-1, 2+i, 2-i .

0
1
2
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20
Calcul du reste d'une division euclidienne

D'après l'identité de la division euclidienne,

Le reste cherché satisfait à

avec ou .

On en déduit

Le reste cherché est donc un polynôme nul ou de degré inférieur ou égal à 2, dont la fonction polynôme associée prend les valeurs respectivement aux points distincts

La formule d'interpolation de Lagrange permet de conclure :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/65
Seuil critique :45
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :45 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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