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Racines et décomposition en irréductibles
Le test comporte 3 questions :
Factorisations
Racines 4-ièmes
Décomposition en facteurs irréductibles
La durée indicative du test est de 40 minutes.
Commencer
Factorisations

Décomposer, en facteurs irréductibles dans , les polynômes suivants

(Indication : Pour les , étudier d'abord et )

Racines 4-ièmes

Soit le polynôme

1. Trouver les racines de dans et placer leurs images dans le plan complexe.

2. Donner les décompositions de en facteurs irréductibles de et de

Décomposition en facteurs irréductibles

Soit le polynôme

1. Après avoir calculé le produit , trouver les racines de dans et placer leurs images dans le plan complexe.

2. Donner la décomposition de en facteurs irréductibles de .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Factorisations

Décomposition de (5 pts)

On remarque que donc est divisible par .

En effectuant la division, on obtient

On a aussi

De même

Conclusion :

Décomposition de B(X) (5 pts)

De façon évidente

Or

De même

Enfin est irréductible dans car son discriminant( ) est négatif.

Conclusion :

Décomposition de (10 pts)

, polynôme irréductible.

On peut alors émettre l'hypothèse de récurrence

Supposons satisfaite et démontrons

Ceci termine le raisonnement par récurrence.

Conclusion :

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Racines 4-ièmes

1. (10 pts) On cherche les nombres complexes z satisfaisant à , on constate que 0 n'est pas racine de donc on peut utiliser la forme trigonométrique Alors, compte-tenu de la formule de Moivre

Tous les nombres obtenus ont pour module 2, ils seront distincts si la différence de leurs arguments n'est pas un multiple entier de .

On trouve donc 4 racines complexes de , appelées racines 4-ièmes de -16.

D'où les racines complexes de P :

Les images des 4 racines 4-ièmes de -16 sont les sommets d'un carré , sommets situés sur le cercle de centre et de rayon 2.

Voici leurs représentations dans le plan complexe :

2. Décomposition dans (3 pts)

Il est évident que

D'où

Décomposition dans (7 pts)

Le polynôme n'a aucune racine réelle.

On vérifie que les racines complexes sont 2 à 2 conjuguées .

D'où les 2 facteurs irréductibles de dans :

Enfin

Remarque : Si le but de l'exercice avait été uniquement de trouver la décomposition de dans , on aurait utilisé une autre démarche.

Par exemple

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Décomposition en facteurs irréductibles

1. (10 pts) Il est immédiat que

On connaît les racines complexes de , ce sont les racines 12-ièmes de l'unité :

(revoir au besoin l'exercice guidé racines n-ièmes de l'unité).

On connaît aussi les racines complexes de , ce sont les racines cubiques de l'unité :

Les racines de sont les racines de qui ne sont pas racines de

De façon explicite les racines de sont :

Voici leurs représentations dans le plan complexe.

2. (10 pts) Le réel -1 est l'unique racine réelle du polynôme P. Les 8 autres racines complexes sont 2 à 2 conjuguées. Ce qui donne naissance à 4 facteurs irréductibles dans

Conclusion :

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/60
Seuil critique :42
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :40 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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