Fonctions polynômes

1. (10 pts) Il est immédiat que \((X^3-1)\,P(X)=X^{12}-1\)

On connaît les racines complexes de \(X^{12}-1\), ce sont les racines 12-ièmes de l'unité :

\(\omega_k=cos\frac {k \pi}{6}+i\,sin \frac {k \pi}{6}~~~~ 0\le k \le 11.\)(revoir au besoin l'exercice guidé racines n-ièmes de l'unité).

On connaît aussi les racines complexes de \(X^3-1\), ce sont les racines cubiques de l'unité :

\(1,~ j=cos \frac{2 \pi}{3} +i\,sin \frac{2 \pi}{3},~ j^2=cos \frac{4 \pi}{3} +i\,sin \frac{4 \pi}{3}.\)

Les racines de \(P\) sont les racines de \(X^{12}-1\) qui ne sont pas racines de \(X^3-1.\)

De façon explicite les racines de \(P\) sont :

\(\omega_{1}=\frac {\sqrt{3}} {2}+i \frac {1}{2} ~~~~~~\omega_{2}=\frac {1} {2}+i \frac {\sqrt{ 3}} {2}~~~~~~\omega_3=i\)

\(\omega_{1}=-\frac {\sqrt{3}} {2}+i \frac {1}{2} ~~~~~~\omega_{6}=-1~~~~~~\omega_7=-\frac {\sqrt{3}} {2}-i \frac {1}{2}\)

\(\omega_{9}=-i ~~~~~~\omega_{10}=\frac {1} {2}-i \frac {\sqrt{ 3}} {2}~~~~~~\omega_{11}=\frac {\sqrt{3}} {2}-i \frac {1}{2}\)

Voici leurs représentations dans le plan complexe.

2. (10 pts) Le réel -1 est l'unique racine réelle du polynôme P. Les 8 autres racines complexes sont 2 à 2 conjuguées. Ce qui donne naissance à 4 facteurs irréductibles dans \(\mathbb{R}[X] :\)

\((X-\omega_1)(X-\omega_{11}) = X^2 -2 \,cos \frac {\pi} {6} X +1=X^2-\sqrt{3}X+1\)

\((X-\omega_2)(X-\omega_{10}) = X^2 -2 cos \frac {\pi} {3} X +1=X^2-X+1\)

\((X-\omega_3)(X-\omega_{9}) = (X-i)\,(X+i)=X^2+1\)

\((X-\omega_5)((X-\omega_7) = X^2 -2 cos \frac {5 \pi} {6} X +1=X^2+\sqrt{3}X+1\)

Conclusion : \(P(X)=(X+1)(X^2+1)\,(X^2-X+1)\,(X^2-\sqrt{3}X+1)\,(X^2+\sqrt{3}X+1).\)