Fonctions polynômes

Décomposition de \(A(X)\) (5 pts)

On remarque que \(A(1)=0\) donc \(A(X)\) est divisible par \(X-1\).

En effectuant la division, on obtient \(A(X)=(X-1)\, (X^3-3X+2)=(X-1)\,A_1(X)\)

On a aussi \(A_1(1)=0~,A_1(X)=(X-1)\,(X^2+X-2)=(X-1)\,A_2(X).\)

De même \(A_2(1)=0~,A_2 (X)=(X-1)\,(X+2).\)

Conclusion : \(A(X)=(X-1)^3\, (X+2).\)

Décomposition de B(X) (5 pts)

De façon évidente \(B(X)=X \, (X^4-5X-6)=XB_1(X)\)

Or \(B_1(-1)=0 , B_1(X)=(X+1) \, (X^3-X^2+X-6)=(X+1)B_2(X).\)

De même \(B_2(2)=0,B_2(X)=(X-2) \, (X^2+X+3)=(X-2)B_3(X).\)

Enfin \(B_3(X)\) est irréductible dans \(\mathbb{R}[X]\) car son discriminant( \(\Delta =-11\)) est négatif.

Conclusion : \(B (X)=X(X+1)(X-2)(X^2+X+3)\)

Décomposition de \(P_n (X)\) (10 pts)

\(P_1 (X)=1+X\) , polynôme irréductible.

\(P_2 (X)=1+X+\frac{1}{2} X(X+1) = (1+X)\left (1+\frac{1}{2} X \right).\)

On peut alors émettre l'hypothèse de récurrence \(\mathcal{H}_n : P_n (X)=(1+X)\left(1+\frac{1}{2} X \right) \cdots \left(1+\frac{1}{n} X \right).\)

Supposons \(\mathcal{H}_n\) satisfaite et démontrons \(\mathcal{H}_{n+1}.\)

\(\begin{array}{lcl} P_{n+1}\, (X)&=&P_n (X)+\frac {1} {(n+1)!} X\,(X+1) \cdots (X+n) \\\\ &=&(1+X) (1+\frac{1}{2} X) \cdots (1+\frac{1}{n} X) + \frac {1} {(n+1)!} X\,(X+1) \cdots (X+n) \\\\ &=& \frac {1}{n!} \, (1+X) (2+ X) \cdots (n+X) + \frac {1} {(n+1)!} X\,(X+1) \cdots (X+n) \\\\ &=& \frac {1} {n!}\, (1+X) (2+ X) \cdots (n+X)   \left (1+\frac {1}{n+1} X \right) \\\\ &=& (1+X) \left (1+ \frac{1}{2} X \right ) \cdots \left (1+\frac{1}{n} X \right) + \left (1+\frac{1}{n+1} X \right) \end{array}\)

Ceci termine le raisonnement par récurrence.

Conclusion : \(\forall n \in \mathbb{N^*} ~~~~P_n (X)=(1+X) \left (1+ \frac{1}{2} X \right ) \cdots \left (1+\frac{1}{n} X \right).\)