PGCD d'un polynôme et de son polynôme dérivé
Durée : 7 mn
Note maximale : 10
Question
Soit le polynôme \(P\) de \(\mathrm{I\!R}[X]\) ,\(P(X)=(X-2)^4(X+1)^3(X-5)\).
Donner le \(PGCD\) de \(P\) et de son polynôme dérivé \(P'\), sans calculer \(P'\) et en justifiant soigneusement le résultat.
Solution
Résultat (5 pts)
\(PGCD \, (P,P\,')=(X-2)^3(X+1)^2\)
Justification (5 pts)
\(P(X)=(X-2)^4(X+1)^3(X-5)\)
Le polynôme \(P\) possède trois racines réelles.
Le scalaire 2 est une racine d'ordre 4 de \(P\) donc est une racine d'ordre 3 de \(P'\).
Le scalaire -1 est une racine d'ordre 3 de \(P\) donc est une racine d'ordre 2 de \(P'\).
Enfin le scalaire 5 est une racine simple de \(P\) donc n'est pas une racine de \(P'\).
Alors \(P\,'(X)=(X-2)^3(X+1)^2\,Q(X)\),le polynôme \(Q\) n'étant divisible par aucun des polynômes :
\(X-2\, ,\,X+1\, , \,X-5.\)
\(\left . \begin{array}{lcl} P(X) &=& (X-2)^4(X+1)^3(X-5) \\ P\,'(X)&=&(X-2)^3(X+1)^2\,Q(X) \\ PGCD(Q,X-2) &=& PGCD(Q,X+1)=1 \\ PGCD(Q,X-5)&=&1 \end{array} \right \}\Rightarrow PGCD \, (P,P\,')=(X-2)^3(x+1)^2\)