Développement de Taylor
Durée : 8 mn
Note maximale : 10
Question
Soit, dans \(\mathrm{I\!R}[X]\), le polynôme \(P(X)=X^4-7X^3+15X^2-12X-12.\)
Exprimer \(P(X)\) comme combinaison linéaire des puissances de \(X-1.\)
Solution
D'après la formule de Taylor dans \(\mathrm{I\!R}[X]\), le degré de \(P\) étant égal à 4,
\(P(X)=P(1)+P\,'(1)(X-1)+\frac{P\,''(1)}{2}(X-1)^2+\frac{P\,^{(3)}(1)}{6}(X-1)^3+\frac{P\,^{(4)}(1)}{24}(X-1)^4 ~~~(3 pts)\)
On calcule donc les dérivées successives de \(P\).
\(\begin{array}{lcl} P\,'(X) &=& 4X^3-21X^2+30X-12 \\ P\,''(X)&=& 12X^2-42X+30 \\ P\,'''(X) &=& 24X-42 \\ P\,^4(X)&=&24 \end{array} ~~(3pts)\)
On en déduit \(P(1)=-15 \, ,\, P\,'(1)=1 , P\,''(1)=0 \, , \, P\,'''(1)=-18 \, ,\, P\,^{4} (1)=24~~~~ (2pts)\)
D'où \(P(X)=-15+(X-1)-3(X-1)^3+(X-1)^4\) ~~~~(2pts)