Racine égale à la somme des deux autres

Durée : 10 mn

Note maximale : 20

Question

  1. Soit le polynôme ,\(P(X)=X^3+bX^2+cX+d\), élément de \(\mathbb{C}[X]\)

    Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur \(b, c, d\), pour qu'une racine de \(P\) soit égale à la somme des deux autres racines.

    (On pourra utiliser la fonction symétrique somme des racines \(\sigma_1\).

  2. Trouver les racines, dans \(\mathbb{C}\), du polynôme \(Q(X)=36\,X^3-12\,X^2-5X+1.\)

Solution

1. Recherche d'une condition nécessaire (6 pts)

Comme tout polynôme de degré 3, de \(\mathbb{C}[X]\) ,\(P\).P possède trois racines complexes \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3.\)

Supposons \(\lambda_3=\lambda_1+\lambda_2\)

Alors \(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=2\lambda_3.~Or ~\sigma_1=-b.\)D'où \(\lambda_3=-\frac{b}{2}. ~Donc -\frac{b}{2}\) est une racine de \(P\).Ce qui se traduit par

\(P \left (-\frac{b}{2} \right )=0 \Leftrightarrow \left (-\frac{b}{2}\right)^3+b \left (-\frac{b}{2} \right )^2+c \left (-\frac{b}{2} \right )+d=0 \Leftrightarrow b^3-4bc+8d=0~~ (*)\)

La relation \(b^3-4bc+8d=0\) est une condition nécessaire.

Vérification que cette relation est une condition suffisante (4 pts)

Supposons \(b^3-4bc+8d=0\) , alors \(-\frac{b}{2}\) est une racine de \(P\), d'après \((*)\).

Si on nomme \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) les deux autres racines de \(P\),\(\lambda_1+\lambda_2+\left (-\frac{b}{2}\right)=\sigma_1=-b\).

D'où \(\lambda_1+\lambda_2=-\frac{b}{2}\)

Ce qui prouve qu'une racine de P est égale à la somme des deux autres racines.

Conclusion : La relation \(b^3-4bc+8d=0\) est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une racine de P soit égale à la somme des deux autres racines.

2. (10 pts)

Le polynôme \(Q\) admet les mêmes racines que \(A\) avec \(A(X)=X^3-\frac{1}{3} X^2-\frac{5}{36} X+\frac{1}{36} .\)

Les coefficients de \(A\) vérifient la relation \(\left (-\frac{1}{3}\right)^3-4\left (-\frac{1}{3}\right)\left (-\frac{5}{36}\right)+8\left (\frac{1}{36}\right)=0.\)

Donc \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\) est racine de \(A\) et de \(P\).

La division euclidienne de \(P(X)\) par \(6X-1\) s'écrit \(36X^3-12X^2-5X+1=(6X-1)(6X^2-X-1).\)

Pour trouver les racines de \(6X^2-X-1\), on peut calculer le discriminant \(\Delta=(-1)^2 -4 \times 6 \times (-1)=25.\)

Alors \(\lambda_1 = \frac {1-5}{2 \times 6}=-\frac{1}{3} ~, ~\lambda_2 = \frac {1+5}{2 \times 6}=\frac{1}{2}.\)

Conclusion : L'ensemble des racines, dans \(C\), de \(P\) est \(\left \{-\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \right \}\)