Matrice de M3(R) avec une valeur propre complexe
Partie
Question
Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbb R\). On considère \(A\) comme un élément de \(M_n(\mathbb C)\).
Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre complexe et non réelle de \(A\) alors \(\overline\lambda\) est aussi valeur propre de \(A\) et que si \(T\), élément de \(M_{n,1}(\mathbb C)\), est un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\) alors \(\overline T\) est un vecteur propre correspondant à \(\overline\lambda\). (où \(\overline T\) désigne le vecteur dont les composantes sont les conjuguées des composantes de \(T\)).
On considère la matrice \(A\) définie par \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\-1&2&1\\1&0&1\end{array}\right)\)
Montrer que la matrice \(A\) n'est pas diagonalisable dans \(M_3(\mathbb R)\).
Trouver, dans \(M_3(\mathbb C)\), une matrice diagonale \(D\) et une matrice inversible \(P\) telles que \(A=PDP^{-1}\).
Aide détaillée
Les valeurs propres de \(A\) sont les racines de son polynôme caractéristique.
Or, si \(A\) est à coefficients réels, son polynôme caractéristique est aussi à coefficients réels.
Soit \(T\) une matrice colonne appartenant à \(M_{n ,1}(\mathbb C)\). Traduire que \(T\) est un vecteur propre de \(A\), et utiliser l'égalité \(A=\overline A\) car \(A\) est à coefficients réels.
Solution détaillée
Les valeurs propres de \(A\) sont les racines de son polynôme caractéristique.
Le polynôme caractéristique de \(A\) est à coefficients réels. Donc si \(\lambda\), élément de \(\mathbb C\), est racine de ce polynôme alors \(\overline\lambda\) est aussi racine de ce polynôme.
Soit \(T\) une matrice colonne appartenant à \(M_{n,1}(\mathbb C)\). Si \(T\) est un vecteur propre de \(A\), on a alors \(AT=\lambda T\), d'où \(\overline{AT}=\overline{\lambda T}\) et donc \(\overline A\overline T=\overline\lambda\overline T\) (propriétés du passage au conjugué dans \(\mathbb C\)) et, comme \(A\) est à coefficients dans \(\mathbb R\), \(A\overline T=\overline\lambda\overline T\). D'où, si \(T\) est un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\) alors \(\overline T\) est un vecteur propre associé à \(\overline\lambda\).
\(P_{\textrm{car},A}(X)=\textrm{det}(A-XI_3)=\left|\begin{array}{ccc}1-X&1&0\\-1&2-X&1\\1&0&1-X\end{array}\right|\)
En ajoutant à la colonne 1 les deux autres colonnes (\(C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3\)) on fait apparaître une factorisation par \(2-X\).
\(P_{\textrm{car},A}(X)=(2-X)\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&2-X&1\\1&0&1-X\end{array}\right|\)
On enlève successivement la ligne 1 à la ligne 2 et à la ligne 3 (\(L_2\leftarrow L_2-L_1,L_3\leftarrow L_3-L_1\)).
\(P_{\textrm{car},A}(X)=(2-X)\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1-X&1\\0&-1&1-X\end{array}\right|=(2-X)\left[(1-X)^2+1\right]\)
Le polynôme \((1-X)^2+1\) n'a pas de racine réelle. Le polynôme caractéristique de \(A\) n'est pas scindé dans \(\mathbb R\), la matrice \(A\) n'est donc pas diagonalisable dans \(M_3(\mathbb R)\).
On considère maintenant la matrice \(A\) comme une matrice à coefficients dans \(\mathbb C\). Le polynôme caractéristique de \(A\) est alors scindé dans \(\mathbb C\).
\(P_{\textrm{car},A}(X)=(2-X)(1+i-X)(1-i-X)\)
La matrice \(A\) a trois valeurs propres distinctes dans \(\mathbb C\), \(\lambda_1=2\), \(\lambda_2=1+i\), \(\lambda_3=1-i\). Elle est donc diagonalisable dans \(M_3(\mathbb C)\).
Soit \(E_{\lambda_1}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_1\) et \(T=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\) un élément de \(M_{3,1}(\mathbb C)\).
\(T\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow(A-I_3)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}-x+y=0\\-x+z=0\\x-z=0\end{array}\right.\Leftrightarrow x=y=z\)
\(E_{\lambda_1}\) est la droite vectorielle de base \(T_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\).
Soit \(E_{\lambda_2}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_2\) et \(T=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\) un élément de \(M_{3,1}(\mathbb C)\).
\(T\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow(A-(1+i)I_3)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lllll}-ix+y=0\\-x+(1-i)y+z=0\\x-iz=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llllll}y=ix\\z=-ix\end{array}\right.\)
\(E_{\lambda_2}\) est la droite vectorielle de base \(T_2=\left(\begin{array}{c}1\\i\\-i\end{array}\right)\).
\(\lambda_3=\overline{\lambda_2}\), d'après la première question, \(E_{\lambda_3}\) est la droite vectorielle de base \(\overline{T_2}\).
La matrice \(A\) est semblable à la matrice \(D\) avec \(D=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&1+i&0\\0&0&1-i\end{array}\right)\)
\(A=PDP^{-1}\) où \(P=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&i&-i\\1&-i&i\end{array}\right)\)