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Construction d'un isomorphisme de Mn(C)

Enoncé

On considère dans , espace vectoriel sur des matrices carrées d'ordre à coefficients complexes, deux matrices et non nulles n'ayant pas de valeurs propres communes.

  1. Soit le polynôme caractéristique de . Montrer que la matrice est inversible.

  2. Soit une matrice de vérifiant l'équation .

    a. Montrer, pour tout entier strictement positif, l'égalité .

    b. En déduire la relation .

    c. Montrer que la matrice est la matrice nulle.

  3. On considère l'endomorphisme de défini pour toute matrice de par .

    Montrer que est un isomorphisme de .

Temps de résolution indicatif :20 mn
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