Inversibilité des polynômes de matrice

Partie

Question

Soient \(A\) une matrice d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\) (\(\mathbf K\) étant \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\)), \(P_{\textrm{car},A}\) son polynôme caractéristique, et \(P\) un polynôme de \(\mathbf K[X]\).

  1. Montrer que si les polynômes \(P_{\textrm{car},A}\) et \(P\) ne sont pas premiers entre eux, alors la matrice \(P(A)\) n'est pas inversible.

  2. Montrer que si les polynômes \(P_{\textrm{car},A}\) et \(P\) sont premiers entre eux, alors la matrice \(P(A)\) est inversible.

  3. Conclure.

  4. On considère la matrice \(A\) suivante :

    \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-1&1\\0&-1&0\end{array}\right)\)

    Les matrices \(A\), \(A^2+A\) et \(A^2-A\) sont-elles inversibles ?

Aide simple
  1. Si \(P_0\) est un polynôme irréductible divisant \(P\) et \(P_{\textrm{car},A}\), montrer qu'il existe \(Q\) tel que \(P_{\textrm{min},A}=P_0Q\), et considérer \(P(A)Q(A)\).

Aide méthodologique
  1. On pourra, par un choix judicieux d'un multiple commun au polynôme \(P\) et au polynôme minimal de \(A\), faire un raisonnement par l'absurde.

  2. Utiliser une Identité de Bézout.

Solution détaillée
  1. On suppose dans cette question que les polynômes \(P_{\textrm{car},A}\) et \(P\) ne sont pas premiers entre eux.

    Soit alors \(P_0\) un polynôme irréductible de \(\mathbf K[X]\) qui divise à la fois les polynômes \(P_{\textrm{car},A}\) et \(P\) (remarque : le polynôme \(P_0\) est donc soit un polynôme du premier degré si \(\mathbf K\) est \(\mathbb C\), soit un polynôme du premier degré ou du deuxième degré si \(\mathbf K\) est \(\mathbb R\)).

    Une des conséquences du théorème de Cayley-Hamilton est que le polynôme caractéristique de \(A\) et le polynôme minimal de \(A\) ont les mêmes facteurs irréductibles.

    Donc le polynôme \(P_0\) divise le polynôme minimal de \(A\), noté \(P_{\textrm{min},A}\).

    Soit \(Q\) le polynôme de \(\mathbf K[X]\) tel que \(P_{\textrm{min},A}=P_0Q\).

    Comme le polynôme \(P_0\) divise le polynôme \(P\), le polynôme \(PQ\) est un multiple du polynôme \(P_0Q=P_{\textrm{min},A}\). Par conséquent le polynôme \(PQ\) est un polynôme annulateur de \(A\). D'où la relation :

    \(P(A)Q(A)=0\).

    On raisonne alors par l'absurde :

    si la matrice \(P(A)\) est inversible, en multipliant à gauche l'égalité \(P(A)Q(A)=0\) par l'inverse de la matrice \(P(A)\), on obtient :

    \(Q(A)=0\).

    Or le polynôme \(Q\) est un diviseur du polynôme minimal de \(A\) et d'un degré strictement inférieur puisqu'on a l'égalité \(P_{\textrm{min},A}=P_0Q\), d'où l'absurdité de la relation \(Q(A)=0\), d'après la définition du polynôme minimal.

    Donc : la matrice \(P(A)\) n'est pas inversible.

  2. Si les polynômes \(P_{\textrm{car},A}\) et \(P\) sont premiers entre eux, alors il existe deux polynômes \(R\) et \(S\) de \(\mathbf K[X]\) tels qu'on ait l'identité de Bézout :

    \(P_{\textrm{car},A}R+PQ=1\).

    D'où l'égalité des matrices suivante :

    \(P_{\textrm{car},A}(A)R(A)+P(A)Q(A)=I_n\), où \(I_n\) désigne la matrice unité de \(M_n(\mathbf K)\).

    D'après le théorème de Cayley-Hamilton : \(P_{\textrm{car},A}(A)=0\), d'où l'égalité :

    \(P(A)Q(A)=I_n\).

    La matrice \(P(A)\) est inversible.

  3. Conclusion :

    Pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbf K[X]\), la matrice \(P(A)\) est inversible si et seulement si les polynômes \(P_{\textrm{car},A}\) et \(P\) sont premiers entre eux.

  4. Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-1&1\\0&-1&0\end{array}\right)\).

    Comme \(\textrm{det }A=1\), la matrice \(A\) est inversible.

    On remarque ensuite que si \(U(X)=X^2+X\) et \(V(X)=X^2-X\), on a les égalités \(A^2+A=U(A)\) et \(A^2-A=V(A)\).

    D'après ce qui précède, il suffit de savoir si les polynômes \(U\) et \(V\) sont premiers avec le polynôme caractéristique de \(A\).

    Un calcul simple donne \(P_{\textrm{car},A}(X)=(1-X)(X^2+X+1)\).

    (On retrouve le fait que \(A\) est inversible puisque \(0\) n'est pas valeur propre de \(A\))

    Les polynômes \(P_{\textrm{car},A}\) et \(U\) sont premiers entre eux donc la matrice \(U(A)=A^2+A\) est inversible.

    Par contre les polynômes \(V\) et \(P_{\textrm{car},A}\) ont tous deux \(1\) comme racine, donc ils ne sont pas premiers entre eux, par conséquent la matrice \(V(A)=A^2-A\) n'est pas inversible.