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Inversibilité des polynômes de matrice

Enoncé

Soient une matrice d'ordre à coefficients dans ( étant ou ), son polynôme caractéristique, et un polynôme de .

  1. Montrer que si les polynômes et ne sont pas premiers entre eux, alors la matrice n'est pas inversible.

  2. Montrer que si les polynômes et sont premiers entre eux, alors la matrice est inversible.

  3. Conclure.

  4. On considère la matrice suivante :

    Les matrices , et sont-elles inversibles ?

Temps de résolution indicatif :20 mn
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