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Noyaux de polynômes d'endomorphisme

Enoncé

Soit un -espace vectoriel de dimension finie ( , ou ), un endomorphisme de et son polynôme caractéristique. On note un diviseur irréductible de , le plus grand entier tel que divise et le polynôme tel que .

  1. Soit le polynôme minimal de . Montrer qu'il existe un entier compris entre et , et un polynôme divisant tels que :

    .

  2. Montrer les inclusions suivantes :

    , .

  3. Justifier les égalités suivantes :

    , .

  4. Montrer que est le plus petit entier tel que .

Temps de résolution indicatif :30 mn
Légende :
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