Étude de quelques cas de calculs exacts de somme de série

On connaît la somme exacte d'une série géométrique. En effet, si \(z\) est un nombre complexe, de module strictement inférieur à 1, on a : \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}z^n=\frac{1}{1-z}\).

Diverses méthodes artisanales permettent de calculer, dans certains cas, la somme d'une série, par exemple quand le terme général s'écrit sous la forme \(u_n=\rho(n)-\rho(n-1)\), où \(\rho\) est une fonction numérique. On a, dans ce cas, \(s_n=\rho(n)-\rho(0)\). Alors, si la fonction \(\rho\) a une limite en \(+\infty\), la série \(\sum u_n\) est convergente et \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\rho(n)-\rho(0)\).

Un des cas les plus simples peut être donné par l'étude de la série de terme général \(\frac{1}{n(n+1)},(n\geq 1)\).

On a en effet, en décomposant la fraction rationnelle, \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac{1}{n+1}\), d'où : \(s_n=1-\frac{1}{n+1}\) et donc \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}}\frac{1}{n(n+1)}=1\).