Série à convergence géométrique

Une série , dont la série des valeurs absolues (ou des modules) satisfait aux conditions d'application de la règle de Cauchy ou de la règle de d'Alembert, est une série dont la convergence est comparable à une série géométrique. On a, pour une telle série, à partir d'un certain rang, avec et donc

soit .

Série vérifiant la condition (règle de Cauchy)

Soit une série dont la série des valeurs absolues vérifie . Plus est petit, plus la convergence est rapide. Il existe un rang et un réel tels qu'on ait, pour , et on a alors .

Exemple

On considère la série de terme général . On a . Il s'agit donc d'une série dont la convergence est très rapide (la convergence de la série est plus rapide que celle de toute série géométrique).

On a, pour tout entier strictement positif :

Soit pour .

Série vérifiant la condition (règle de d'Alembert)

Soit une série dont la série des valeurs absolues vérifie . Plus est petit, plus la convergence est rapide. Il existe un rang et un réel tels qu'on ait, pour : et on a alors .

Pour tous et , on a par une récurrence immédiate :

.

La majoration du reste qu'on déduit est la suivante : .

Exemple

On considère la série de terme général . On a , d'où . La série est donc convergente d'après la règle de d'Alembert.

On a, par exemple, pour assez grand : et donc .

Ainsi on montre, par une simple étude de fonction, que pour tout , on a et donc . On en déduit l'encadrement :

, soit

ou encore

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