Théorème de convergence (lemme d'Abel)

Théorème

Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. S'il existe des réels \(r\)et \(M\) strictement positifs tels que \(\forall n\in N, |a_n|r^n\leq M\),

alors, pour tout réel \(\rho\) vérifiant \(0<\rho<r\), la série entière \(\sum a_nz^n\) est normalement convergente dans le disque fermé \(\overline{D}(0,\rho)\).

PreuveMajoration du terme général et comparaison avec une série géométrique.

Pour tout entier \(n\) et tout \(z\) appartenant au disque \(\overline{D}(0,\rho)\), on a :

\(|a_nz^n|\leq|a_n|\rho^n=|a_n|r^n\left(\frac{\rho}{r}\right)^n\leq M\left(\frac{\rho}{r}\right)^n\), avec \(0<\frac{\rho}{r}<1\),

d'où la convergence normale de la série entière \(\sum a_nz^n\)dans tout le disque \(\overline{D}(0,\rho)\).

On en déduit :

  • pour tout \(z\) vérifiant \(|z|<r\), la série \(\sum a_nz^n\) converge absolument,

  • dans tout disque fermé \(\overline{D}(0,\rho)\), (\(0<\rho<r\)), la série entière \(\sum a_nz^n\) converge uniformément.