Mathématiques
Précédent
Suivant
Calcul du rayon de convergence d'une série entière

Soit une série entière. Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. Pour , considérons la série à termes complexes . Le terme général est . Formons, s'il est défini, c'est-à-dire si est non nul, le rapport : .

Proposition

Soit une série entière. Si la suite a une limite quand tend vers , alors le rayon de convergence de la série entière est défini par

.

La limite s'entend dans avec la convention et .

Preuve

Si la suite a une limite quand tend vers , alors :

  • si , la série est absolument convergente,

  • si , la série est divergente.

On a donc alors , avec la convention indiquée plus haut.

On a un résultat analogue, lié au critère de Cauchy : si la suite a une limite quand tend vers , alors .

Remarque
  1. Attention ! L'énoncé suppose que le rapport est défini.

    C'est-à-dire que pour assez grand est non nul. Le résultat ne peut s'appliquer directement aux séries entières, dites lacunaires, c'est-à-dire celles dont un nombre infini de coefficients est nul, comme la série .

  2. Lien entre les deux règles.

    On montre (voir exercice) que si la suite a une limite, il en est de même pour la suite et que ces limites sont égales. La réciproque est fausse. Toutefois, l'utilisation du rapport est plus fréquente, car plus facile à manipuler que celle de .

  3. Il existe une formule, qui “marche toujours”.

    Il existe une formule, qui, elle, “marche toujours”, du moins théoriquement, c'est la formule d'Hadamard : elle fait intervenir la notion de limite supérieure d'une suite.

Exemple
  1. Les séries entières .

    La proposition précédente permet de montrer que le rayon de convergence de chacune de ces séries est 1.

  2. Étude des séries à termes complexes sur le cercle unité.

    Étudions maintenant le comportement des séries à termes complexes , sur le cercle unité.

    • La série est divergente en tout point du cercle unité.

    • La série n'est absolument convergente en aucun point du cercle unité, mais est convergente en tout point (lemme d'Abel ou théorème des séries alternées pour ).

    • La série est absolument convergente en tout point du cercle unité.

  3. Étude de la convergence uniforme des séries entières .

    Les séries entières sont uniformément convergentes dans tout disque avec .

    La série entière converge normalement donc uniformément dans le disque unité fermé car .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)