Calcul du rayon de convergence d'une série entière
Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). Le terme général est \(u_n=a_nz_0^n\). Formons, s'il est défini, c'est-à-dire si \(a_n\) est non nul, le rapport : \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).
Proposition :
Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. Si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors le rayon de convergence \(R\) de la série entière est défini par
\(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).
La limite s'entend dans \(\overline{R}_+\) avec la convention \(\frac 10=+\infty\) et \(\frac {1}{+\infty}=0\).
Preuve :
Si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite \(L\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors :
si \(|z_0|<\frac1L\), la série \(\sum a_nz^n_0\) est absolument convergente,
si \(|z_0|>\frac1L\), la série \(\sum a_nz^n_0\) est divergente.
On a donc alors \(R=\frac 1L\), avec la convention indiquée plus haut.
On a un résultat analogue, lié au critère de Cauchy : si la suite \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right) \)a une limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\).
Remarque :
Attention ! L'énoncé suppose que le rapport \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)est défini.
C'est-à-dire que pour \(n\) assez grand \(a_n\) est non nul. Le résultat ne peut s'appliquer directement aux séries entières, dites lacunaires, c'est-à-dire celles dont un nombre infini de coefficients est nul, comme la série \(\sum n!z^{n^2}\).
Lien entre les deux règles.
On montre (voir exercice) que si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite, il en est de même pour la suite \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\)et que ces limites sont égales. La réciproque est fausse. Toutefois, l'utilisation du rapport \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) est plus fréquente, car plus facile à manipuler que celle de \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\).
Il existe une formule, qui “marche toujours”.
Il existe une formule, qui, elle, “marche toujours”, du moins théoriquement, c'est la formule d'Hadamard : elle fait intervenir la notion de limite supérieure d'une suite.
Exemple :
Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\).
La proposition précédente permet de montrer que le rayon de convergence de chacune de ces séries est 1.
Étude des séries à termes complexes \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sur le cercle unité.
Étudions maintenant le comportement des séries à termes complexes \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\), sur le cercle unité.
La série \(\sum z^n\) est divergente en tout point du cercle unité.
La série \(\sum \frac{z^n}{n}\) n'est absolument convergente en aucun point du cercle unité, mais est convergente en tout point \(z\neq 1\) (lemme d'Abel ou théorème des séries alternées pour \(z=-1\)).
La série \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) est absolument convergente en tout point du cercle unité.
Étude de la convergence uniforme des séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\).
Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sont uniformément convergentes dans tout disque \(\overline{D}(0,\rho)\) avec \(\rho<1\).
La série entière \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) converge normalement donc uniformément dans le disque unité fermé \(\overline{D}(0,1)\) car \(\forall z \in C, |z|\leq 1\Rightarrow\left|\frac{z}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}\).