Mathématiques
Précédent
Suivant
Bilan

On peut résumer les propriétés précédentes.

Pour la série à termes complexes

Soit une série entière de rayon de convergence et soit .

  • Si appartient au disque de convergence , (c'est-à-dire ), la série est absolument convergente.

  • Si est extérieur au disque fermé , (c'est-à-dire ), la série est divergente.

  • Si appartient au cercle , on ne peut rien dire a priori sur la série .

Remarque

Ainsi le disque de convergence d'une série entière n'est pas toujours le plus grand ensemble de sur lequel la série est convergente.

Pourquoi ?

Parce qu'il faut regarder ce qui se passe sur le cercle .

Sur le cercle la série peut être

  • convergente en tout point,

  • convergente en certains points,

  • divergente en tout point.

Dans le premier cas, le plus grand ensemble de convergence de la série est le disque fermé . Nous verrons des exemples au paragraphe suivant.

Pour la série entière

Soit une série entière de rayon de convergence .

La série entière est normalement donc uniformément convergente dans tout disque fermé avec .

En général, la série entière n'est pas uniformément convergente dans le disque de convergence, ni a fortiori dans le disque fermé .

Remarque

Quand la série est convergente dans le disque fermé , il peut arriver que la série entière soit uniformément convergente dans le disque fermé . Nous en verrons des exemples plus loin.

Convergence/divergence

La série est divergente à l'extérieur du disque

Convergence uniforme

Attention, le disque bleu a un rayon strictement inférieur à R.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)