Rayon et disque de convergence
Notons \(\overline{R}_+=\{x\in R, x\geq 0\}\bigcup\{+\infty\}\).
Dans \(\overline{R}_+\), toute partie non vide a une borne supérieure qui est \(+\infty\), si la partie est non bornée.
Notons \(A=\{r\in R_+,\left(a_nr^n\right)\textrm{est bornée}\}\). L'ensemble \(A\) est un sous-ensemble de \(R\). Il n'est pas vide car 0 est élément de \(A\).
Définition :
Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. On appelle rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) la borne supérieure dans \(\overline{R}_+\) de l'ensemble
\(A=\{r\in R_+,\left(a_nr^n\right)\textrm{est bornée}\}\).
Théorème :
Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R\).
La série \(\sum a_nz^n\) est absolument convergente dans le disque \(D(0,R)\), c'est-à-dire pour tout \(z\) vérifiant \(|z|<R\).
La série \(\sum a_nz^n\) est divergente à l'extérieur du disque fermé \(\overline{D}(0,R)\), c'est-à-dire pour tout \(z\) vérifiant \(|z|>R\).
Preuve :
On distingue les cas \(R\in R_+\)et \(R=+\infty\). La preuve repose sur l'application du lemme d'Abel.
Si \(R\in R_+\), alors :
- si \(R=0\), la série \(\sum a_n z^n\) est divergente pour tout \(z\neq 0\);
- si \(R\) est un réel strictement positif, soit \(z\in C\);
si \(z\) appartient au disque \(D(0,R)\), alors il existe un réel \(r\) tel qu'on ait \(|z|\leq r<R\) et que la suite \((a_nr^n)\) soit bornée. D'après le théorème précédent la série \(\sum a_n z^n\) est absolument convergente.
si \(z\) n'appartient pas au disque fermé \(\overline{D}(0,R)\), alors la série \(\sum a_n z^n\) est divergente, sinon la suite \(\left(|a_nz^n|\right)\) serait bornée.
Si \(R=+\infty\), pour tout \(z\in C\), la série \(\sum a_nz^n\) est convergente.
Définition :
Soit \(\sum a_n z^n\) une série entière. On appelle
disque de convergence de la série entière \(\sum a_n z^n\), le disque ouvert \(D(0,R)=\{ z\in C, |z|< R \}\),
intervalle de convergence de la série entière, l'intervalle \(]-R,R[\) de \(R\).