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Rayon et disque de convergence

Notons .

Dans , toute partie non vide a une borne supérieure qui est , si la partie est non bornée.

Notons . L'ensemble est un sous-ensemble de . Il n'est pas vide car 0 est élément de .

Définition

Soit une série entière. On appelle rayon de convergence de la série entière la borne supérieure dans de l'ensemble

.

Théorème

Soit une série entière de rayon de convergence .

  • La série est absolument convergente dans le disque , c'est-à-dire pour tout vérifiant .

  • La série est divergente à l'extérieur du disque fermé , c'est-à-dire pour tout vérifiant .

Preuve

On distingue les cas et . La preuve repose sur l'application du lemme d'Abel.

Si , alors :

- si , la série est divergente pour tout ;

- si est un réel strictement positif, soit ;

  • si appartient au disque , alors il existe un réel tel qu'on ait et que la suite soit bornée. D'après le théorème précédent la série est absolument convergente.

  • si n'appartient pas au disque fermé , alors la série est divergente, sinon la suite serait bornée.

Si , pour tout , la série est convergente.

Définition

Soit une série entière. On appelle

  • disque de convergence de la série entière , le disque ouvert ,

  • intervalle de convergence de la série entière, l'intervalle de .

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