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Rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières
Théorème

On considère deux séries entières et de rayon de convergence respectifs et . La somme et le produit de ces séries entières ont un rayon de convergence au moins égal à et pour vérifiant , on a :

.

Preuve

Pour vérifiant , les séries et sont absolument convergentes et les égalités traduisent l'expression de la somme et du produit des séries et .

On peut préciser. On note respectivement et les coefficients de la somme et du produit des séries entières et , et leur rayon de convergence.

Pour la somme de deux séries entières

Si , on a . Supposons, par exemple . On a et donc . En écrivant : , on déduit , d'où et donc .

Dans le cas , on peut avoir . Considérons par exemple les deux séries entières définies par la suite de leurs coefficients : et . On a immédiatement :

et .

Pour le produit de deux séries entières

Même dans le cas , on peut avoir . Considérons par exemple les deux séries entières définies par la suite de leurs coefficients :

et et . On a alors et, pour la série produit, et , d'où

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