Problème général

On aborde maintenant le second aspect du problème formulé ainsi. Étant donné une fonction \(f\) de variable complexe, chercher s'il existe une série entière \(\sum a_nz^n\) de rayon de convergence \(R\) non nul tel qu'on ait : \(\forall z \in D(0,R), f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\).

On remarque que, d'après les paragraphes précédents, le problème est ici nécessairement centré en 0. On parle alors d'un développement en série entière autour de l'origine.

On peut envisager un développement en série entière autour d'un point \(z_0\) de \(C\), la série entière envisagée étant alors de la forme \(\sum a_n(z-z_0)^n\).

En ce qui concerne la variable réelle, nous ferons la distinction avec les développements limités. Voir des exemples illustrés dans la partie "Développements en série entière illustration graphique".