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Conditions pour qu'une fonction soit développable en série entière

Pour qu'une fonction de dans soit développable en série entière, il faut que les conditions suivantes soient remplies :

  • il existe un intervalle ouvert centré en 0 tel que soit de classe sur ,

  • la série entière a un rayon de convergence non nul.

Ces conditions ne sont pas suffisantes comme le montre l'exemple de la fonction, déjà rencontrée plus d'une fois, définie par : .

Exemple : détail

Cette fonction est de classe sur . En effet, elle est indéfiniment dérivable pour tout non nul et sa dérivée d'ordre est de la forme , où est un polynôme de degré .

On a donc d'où : . La série de Taylor de la fonction est donc la série nulle et il n'existe aucun intervalle ouvert centré à l'origine sur lequel on ait en tout point : , car la fonction ne s'annule qu'en 0.

Exemple de fonction de classe non développable en série entière

Autre exemple

Recherche d'une condition nécessaire et suffisante.

On considère une fonction de classe sur un intervalle ouvert centré en 0 et dont le rayon de convergence de la série de Taylor est non nul. On pose :

.

La fonction est développable en série entière si, et seulement si, il existe un réel tel que la suite de fonctions converge simplement vers 0 sur l'intervalle .

Cette condition nécessaire et suffisante n'est pas toujours facile à exprimer. On utilise plus fréquemment la condition suffisante suivante.

Théorème

Pour que la fonction soit développable en série entière sur un intervalle ouvert centré en 0, il suffit qu'il existe des réels et tels qu'on ait : .

La fonction est alors développable en série entière sur l'intervalle .

Preuve

En appliquant la formule de Taylor à la fonction à l'ordre sur l'intervalle , on a, pour tout entier :

et . Le rayon de convergence vérifie alors .

Légende :
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