Développements limités et développements en série entière, quelles sont les différences ?
Reprenons les définitions : on considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) centré en 0.
Définition :
On dit que \(f\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) au voisinage de 0 s'il existe un polynôme \(P_n\) de degré inférieur ou égal à \(n\), \(P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k\), et une fonction \(\epsilon\) définie au voisinage de 0, vérifiant \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\epsilon (x)=0\), tels que \(f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k+x^n\epsilon(x)\).
Définition :
On dit qu'une fonction \(f\) est développable en série entière sur l'intervalle \(I\) s'il existe une série entière \(\sum a_nx^n\) telle qu'on ait : \(\forall x\in I, f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\).
Les différences sont fondamentales : dans la définition du développement limité il y a limité et voisinage. Le développement limité est une propriété locale.
En revanche, dans la définition du développement en série entière, la propriété est réalisée sur tout un intervalle. Le développement en série entière est une propriété globale.
Une fonction qui est développable en série entière dans un intervalle \(I\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(I\) et admet donc, pour tout entier \(n\), un développement limité à l'ordre \(n\) au voisinage de 0. La réciproque est fausse comme le montre l'exemple de la fonction \(f\) vue plus haut, définie par : \(\forall x\neq 0, f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}, f(0)=0\), qui admet un développement limité au voisinage de 0 à tout ordre, mais n'est pas développable en série entière. Pour conclure il s'agit de deux propriétés complètement différentes, le seul point commun est l'égalité des coefficients \(a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\). Cela conduit parfois à une confusion, qu'il faut éviter !!