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Définitions. Série de Taylor d'une fonction
Définition

On dit qu'une fonction est développable en série entière sur un disque ouvert centré en 0, s'il existe une série entière telle qu'on ait : .

Remarque : Pourquoi on peut se limiter à des développements centrés en 0

Nous dirons qu'une fonction est développable en série entière dans un disque ouvert centré en , si la fonction est développable en série entière autour de 0. Cette remarque ramène tout problème de développement en série entière à un problème de développement en série entière autour de l'origine. Nous nous limiterons donc à des développements centrés en 0.

Remarque : Pourquoi nous ne considérons maintenant que des fonctions de la variable réelle.

Nous ne considérerons à partir de maintenant, que des fonctions de variable réelle. Nous faisons intervenir, en effet, les fonctions dérivées successives de la fonction, notion qui sera introduite ultérieurement pour les fonctions de variable complexe.

L'intervalle I qui intervient est ouvert et centré en 0.

Théorème

Si est une fonction développable en série entière sur un intervalle , alors les coefficients de cette série entière sont les nombres : .

Le développement en série entière de est donc unique et s'identifie avec la série de Taylor de : .

Preuve

Il s'agit, bien entendu, de la série de Taylor de la fonction en 0.

Si, pour tout de , , alors le rayon de convergence de la série entière est non nul . La fonction est de classe sur , et on a, en particulier, .

Ainsi, si une fonction est développable en série entière sur un intervalle , elle est égale à la somme de sa série de Taylor sur .

Les nombres sont entièrement déterminés par la donnée de sur un intervalle quelconque centré en 0, non réduit à 0.

On déduit les corollaires suivants.

Corollaire : 1

Si deux fonctions et , développables en série entière sur un intervalle , coïncident sur un intervalle non vide , alors elles coïncident sur tout l'intervalle .

En effet si les deux fonctions coïncident sur l'intervalle , elles ont même série de Taylor et donc coïncident sur tout l'intervalle de convergence de cette série.

Ce phénomène est très important, il ne se produit pas pour d'autres développements en série comme le développement en série de Fourier. Par ailleurs il est à l'origine du principe du prolongement analytique.

Corollaire : 2

Si une fonction paire (resp. impaire) est développable en série entière, on a alors : .

Légende :
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