Développements en série entière, illustration graphique
On peut représenter sur le même écran les graphes d'une fonction et des sommes partielles de son développement en série entière.
Exemple :
1. Développement en série entière de la fonction sinus.
Le rayon de convergence est infini.
On affiche les sommes partielles jusqu'à l'ordre 13.
La fenêtre d'affichage est – 5 < x < 5, – 5 < y < 5.
Que constate-t-on ?
pour les valeurs de \(n\) paires, on ne voit pas de nouvelle courbe : du fait de la parité, le terme d'ordre \(2i\) est nul.
plus \(n\) augmente, « meilleure » est l'approximation. C'est-à-dire que l'intervalle sur lequel la somme partielle approche la fonction sinus avec une précision donnée augmente avec \(n\).
Ce n'est pas le cadre des développements limités.
Exemple :
2. Développement en série entière de la fonction \(g:x\mapsto \ln(1+x+x^2)\)
Le rayon de convergence est 1 (faites le calcul, pour vérifier voir ci-dessous).
Comme \(\forall x\in R, 1+x+x^2>0\) la fonction \(x\mapsto \ln(1+x+x^2)\) est définie sur \(R\). Il est facile de montrer qu'elle est indéfiniment dérivable sur \(R\).
Montrons qu'elle admet un développement en série entière.
On écrit, pour tout \(x\) différent de 1 : \(1+x+x^2=\frac{1+x^3}{1-x}\)
qui implique pour \(|x|<1\), \(\ln{(1+x+x^2)}=\ln{(1-x^3)}-\ln{(1-x)}\)
puis \(\ln{(1+x+x^2)}=-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{3n}}{n}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\)
qui est de la forme \(\ln{(1+x+x^2)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n\) avec \(a_{3n}=\frac{1}{3n}-\frac1n=-\frac{2}{3n}\) et si \(n\) n'est pas divisible par 3,\(a_n=-\frac1n\).
La série converge pour \(|x|<1\) et le terme général ne tend pas vers 0 pour \(|x|>1\) : le rayon de convergence de la série entière est 1, tandis que la fonction est indéfiniment dérivable dans \(R\).
L'animation illustre le fait que la développement en série entière converge vers la fonction uniquement sur \(]-1,1[\).
On affiche les sommes partielles jusqu'à l'ordre 60.
La fenêtre d'affichage est \(– 2 < x < 2, – 5 < y < 5\).
Que constate-t-on ?
sur \(]-1,1[\) , on « voit » converger les sommes partielles vers la fonction,
en dehors de \(]-1,1[\), on « voit » que les sommes partielles ne convergent pas.
et pourtant la fonction et les sommes partielles sont définies sur \(R\) tout entier.
Comment le fait-on en Maple ?
On va utiliser le fait que le développement en série entière et le développement de Taylor en 0 sont les mêmes.
> restart:
with(plots): #chargement de la bibliothèque "plots"
Définition d'une procédure qui affiche les graphes des n premiers développements de Taylor de la fonction dans la fenêtre -XM<x<XM, -YM<y<YM.
> taylors:=proc(f,N,XM,YM)
local a,b,c,i,j,L;
for i from 0 to N do
L[i]:=plot([seq(convert(taylor(f(x),x=0,j),polynom),j=1..i+1)],
x=-XM..XM,y=-YM..YM,numpoints=300,thickness=2)
od:
a:=display([seq(L[j],j=0..N)],insequence=true):
c:=display([seq(textplot([-XM+.5,YM-.5,cat(`ordre `,convert(i,name))]),i=0..N)],insequence=true):
b:=plot(f(x),x=-XM..XM,y=-YM..YM,color=navy,thickness=3 ,
title=cat(`Fonction x->`,convert(evalf(f(x)),name),
` en 0 jusqu'à l'ordre `,convert(N,name)) ):
display(c,b,a):
end:
Premier exemple : la fonction sinus
> taylors(sin,13,5,5);
Deuxième exemple
> g:=x->ln(1+x+x*x);
> taylors(g,60,2,5);