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Animation 1 : Etude du système à un paramètre

La matrice correspondante est

Sa trace est , et son déterminant est .

Sur la figure ci dessous, vous voyez, pour chaque valeur du paramètre  :

  • Sur la partie gauche : le portrait de phase correspondant, dans le plan . Les couleurs montrent le sens de parcours des trajectoires : chacune d'elles est parcourue "du bleu vers le rouge".

  • Sur la partie droite, qui représente le plan ( , ), la place du point de coordonnées , . Lorsque varie, se déplace donc sur la droite d'équation .

Notons \Delta=\textrm{tr}(A)^2-4\textrm{det}(A).

On a tracé en rouge la parabole d'équation , correspondant à . Les régions dans lesquelles le portrait de phases reste du même type (noeud attractif, col, ...) sont séparées par l'axe des , le demi-axe des positifs et la parabole.

Vous pouvez faire varier le paramètre grâce aux boutons Augmenter p et Diminuer p.

Vous devez constater que, comme le prédit la théorie,

  • Si (à l'intérieur de la parabole : ) , on obtient :

    • un foyer attractif si ,

    • un centre si ,

    • un foyer répulsif si ,

  • Si (à l'extérieur de la parabole) , on obtient

    • un noeud attractif si et (  : M est entre l'axe des abscisses négatives et la parabole),

    • un noeud répulsif si et (  : M est à droite de la parabole),

    • un col si (  : M est en dessous de l'axe des abscisses)

Observez ce qui se passe si  : on obtient alors toute une droite de points stationnaires, les autres trajectoires sont des demi-droites (démontrez-le).

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