Animation 1 : Etude du système à un paramètre

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=x+2y \\ y' = -2x + (p-1)y\end{array}\right.}\)

La matrice correspondante est \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & p-1\end{array}\right)}\)

Sa trace est \(\textrm{tr}(A) = p\), et son déterminant est \(\textrm{det}(A) = p + 3\).

Sur la figure ci dessous, vous voyez, pour chaque valeur du paramètre \(p\) :

  • Sur la partie gauche : le portrait de phase[1] correspondant, dans le plan \((x, y)\). Les couleurs montrent le sens de parcours des trajectoires : chacune d'elles est parcourue "du bleu vers le rouge".

  • Sur la partie droite, qui représente le plan (\(t = \textrm{tr}(A)\), \(d = \textrm{det}(A)\)), la place du point \(M\) de coordonnées \(\textrm{tr}(A) = p\), \(\textrm{det}(A) = p+3\). Lorsque \(p\) varie, \(M\) se déplace donc sur la droite d'équation \(d = t + 3\).

Notons\( \Delta=\textrm{tr}(A)^2-4\textrm{det}(A)\).

On a tracé en rouge la parabole d'équation \(t^2 - 4 d = 0\), correspondant à \(\Delta=0\). Les régions dans lesquelles le portrait de phases reste du même type (noeud attractif, col, ...) sont séparées par l'axe des \(t\), le demi-axe des \(d\) positifs et la parabole.

Vous pouvez faire varier le paramètre grâce aux boutons Augmenter p et Diminuer p.

Vous devez constater que, comme le prédit la théorie,

  • Si \(\Delta < 0\) (à l'intérieur de la parabole :\( - 2 < p < 6\)) , on obtient :

    • un foyer attractif si \(\textrm tr{A} = p < 0 (- 2 < p < 0)\),

    • un centre si \(\textrm{tr}(A) = p = 0\),

    • un foyer répulsif si \(\textrm{tr}(A) = p > 0 (0 < p < 6)\),

  • Si \(\Delta > 0\) (à l'extérieur de la parabole) , on obtient

    • un noeud attractif si \(\textrm{tr}(A) < 0\) et \(\textrm{det}(A) > 0\) (\(-3 < p < -2\) : M est entre l'axe des abscisses négatives et la parabole),

    • un noeud répulsif si \(\textrm{tr}(A) > 0\) et \(\textrm{det}(A) > 0\) (\(p > 6\) : M est à droite de la parabole),

    • un col si \(\textrm{det}(A) < 0\) ( \(p < - 3\) : M est en dessous de l'axe des abscisses)

Observez ce qui se passe si \(\textrm{det}(A) = 0\) : on obtient alors toute une droite de points stationnaires, les autres trajectoires sont des demi-droites (démontrez-le).