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Animation 2 : Etude du système à un paramètre

La matrice correspondante est

Sa trace est , et son déterminant est .

Sur la figure ci dessous, vous voyez, pour chaque valeur du paramètre  :

  • Sur la partie gauche : le portrait de phase correspondant, dans le plan . Les couleurs montrent le sens de parcours des trajectoires : chacune d'elles est parcourue "du bleu vers le rouge".

Sur la partie droite , qui représente le plan ( ), la place du point M de coordonnées , . Lorsque varie, M se déplace sur un cercle.

Notons

On a tracé en rouge la parabole . Les régions dans lesquelles le portrait de phases reste du même type (noeud attractif, col, ...) sont séparées par l'axe des , le demi-axe des positifs et la parabole .

Vous pouvez faire varier le paramètre grâce aux boutons Augmenter p et Diminuer p.

Vous devez constater que, comme le prédit la théorie,

  • Si (à l'intérieur de la parabole), on obtient

    • un foyer répulsif si ,

    • un foyer attractif si ,

    • un centre si , c.à.d.

  • Si (à l'extérieur de la parabole) , on obtient

    • un noeud attractif si et ( M est entre l'axe des abscisses négatives et la parabole),

    • un noeud répulsif si et (M est entre l'axe des abscisses positives et la parabole),

    • un col si ( M est en dessous de l'axe des abscisses)

Observez ce qui se passe si  : on obtient alors toute une droite de points stationnaires, les autres trajectoires sont des demi-droites.

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