Animation 2 : Etude du système à un paramètre

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=\frac{\cos p}{2}x + y \\ y' = (\frac{\cos^2 p}{4}x + \frac{\cos p}{2}y)\end{array}\right.}\)

La matrice correspondante est \(\displaystyle{\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2\cos p & 4 \\ 2 \cos^2p - 4 \sin p & 2 \cos p\end{array}\right)}\)

Sa trace est \(\textrm{tr}(A) = \cos p\), et son déterminant est \(\textrm{det}(A) = \sin p\).

Sur la figure ci dessous, vous voyez, pour chaque valeur du paramètre \(p\) :

  • Sur la partie gauche : le portrait de phase[1] correspondant, dans le plan \((x, y)\). Les couleurs montrent le sens de parcours des trajectoires : chacune d'elles est parcourue "du bleu vers le rouge".

Sur la partie droite , qui représente le plan (\(t = \textrm{tr}(A), d = \textrm{det}(A)\)), la place du point M de coordonnées \(\textrm{tr}(A) = \cos p\), \(\textrm{det}(A) =\sin p\). Lorsque \(p\) varie, M se déplace sur un cercle.

Notons \(\Delta=\textrm{tr}(A)^2-4\textrm{det}(A)\)

On a tracé en rouge la parabole \(\delta=0\). Les régions dans lesquelles le portrait de phases reste du même type (nœud attractif, col, ...) sont séparées par l'axe des \(t\), le demi-axe des \(d\) positifs et la parabole .

Vous pouvez faire varier le paramètre grâce aux boutons Augmenter p et Diminuer p.

Vous devez constater que, comme le prédit la théorie,

  • Si \(\Delta < 0\) (à l'intérieur de la parabole), on obtient

    • un foyer répulsif si \(\textrm{tr}(A) = \cos p > 0\),

    • un foyer attractif si \(\textrm{tr}(A) = \cos p < 0\),

    • un centre si \(\textrm{tr}(A) = 0\), c.à.d. \(p = \pi/2\)

  • Si \(\Delta > 0\) (à l'extérieur de la parabole) , on obtient

    • un noeud attractif si \(\textrm{tr}(A) < 0\) et \(\textrm{det}(A) > 0\) ( M est entre l'axe des abscisses négatives et la parabole),

    • un noeud répulsif si \(\textrm{tr}(A) > 0\) et \(\textrm{det}(A) > 0\) (M est entre l'axe des abscisses positives et la parabole),

    • un col si \(\textrm{det}(A) = \sin p < 0\) ( M est en dessous de l'axe des abscisses)

Observez ce qui se passe si \(\textrm{det}(A) = 0\) : on obtient alors toute une droite de points stationnaires, les autres trajectoires sont des demi-droites.