Position du problème
La mise en équations de nombreux problèmes de Physique conduit à des expressions du type \(f(x) = 0\) où \(x\) est l'inconnue.
Exemple :
Étude de la chute des corps :
Un point matériel de masse \(m\), lâché sans vitesse initiale d'une hauteur \(h\) arrive au sol avec une vitesse \(v\), solution de l'équation algébrique en \(v\) : \(\frac{1}{2}mv^2-mgh = 0\)
Étude des interférences :
Deux sources synchrones émettent une lumière de longueur d'onde \(\lambda\). En appelant: a la distance entre les sources et \(D\) leur distance à l'écran, l'éclairement à une distance \(x\) de la frange centrale est \(E = 2kb^2(1+\cos 2\pi\frac{ax}{\lambda D})\) où \(b\) est l'amplitude commune des deux vibrations lumineuses et \(k\) un coefficient de proportionnalité.
La résolution de cette équation trigonométrique en \(x\) fournit l'ensemble des points où l'éclairement a la valeur \(E\).
A côté de ces équations, il existe des équations dites fonctionnelles dans lesquelles l'inconnue est une fonction.
Exemple :
La fonction "\(\exp\)" est solution de l'équation fonctionnelle: \(f(x+y) = f(x)\cdot f(y)\).
De même la fonction "\(\cos\)" est solution de \(f(2x) = 2f(x)^2 - 1\)
Enfin, il existe encore des problèmes qui aboutissent à des équations fonctionnelles dans lesquelles interviennent à la fois une fonction et ses dérivées, l'inconnue étant la fonction : ce sont des "équations différentielles".
Exemple : L'oscillateur harmonique
\(m\frac{d^2x}{dt^2}+kx = 0\) où x est une fonction inconnue du temps.
D'une façon plus générale, ces équations apparaissent chaque fois qu'on étudie l'évolution dans l'espace ou dans le temps d'un système.
Souvent, la résolution de ces équations est à peu près évidente et conduit à un simple calcul de primitive. Néanmoins, ce n'est pas toujours le cas, et il est indispensable de connaître les techniques permettant de résoudre certains cas simples rencontrés en Physique.