Équations linéaires du second ordre à coefficients constants
C'est un cas particulier de \(\sum_{k=0}^n\Phi^k D^k f = g\) où \(n = 2\) et où les \(\Phi^k\) sont des constantes.
\(a f" + b f ' + c f = g\) (1)
Résolution de l'équation homogène associée
Principe : L'équation (2) homogène, associée à (1) s'écrit \(a f" + b f ' + c f = 0\) (2)
Si \(f\) est solution de (2), \(v = f '\) est aussi solution de (2).
On est ainsi conduit à chercher pour solution une fonction dont la dérivée première est de même forme qu'elle. Ceci suggère de chercher des solutions de forme exponentielle: \(f(x) = e^{rx}\).
Le problème est alors de trouver \(r\), tel que \(f(x) = e^{rx}\) vérifie (2), soit en portant dans (2) \(( ar^2 + br + c ) e^{rx} = 0\) ; \(e^{rx}\) n'étant jamais nul, on obtient l'équation algébrique dite équation caractéristique : \(ar^2 + br + c = 0\) cette équation algébrique du second degré en \(r\) admet deux racines \(r_1\) et \(r_2\), réelles ou complexes conjuguées.
Si \(r_1\) diffère de \(r_2\), on a ainsi deux solutions linéairement indépendantes de (2).
La solution générale s'écrit alors \(f(x) = A_1 e^{r_1x} + A_2e^{r_2x}\) .
S'il y a une racine double \(r_0\), \(e^r0^x\) est aussi solution de (2) et linéairement indépendante de \(e^r0^x\). La solution générale de (2) est donc : \(f(x)=(\alpha + \beta x)e^r0^x\)
Une démonstration complète de ce cas est donné en Annexe.
Discussion
On se limite au cas le plus usuel en Physique élémentaire où \(a\), \(b\) et \(c\) sont positifs: il s'agit d'équations traduisant des phénomènes oscillants.
On pose en général : \(\frac{b}{a}=2\lambda,\frac{c}{a}={\omega_0}^2\), \(r\) est alors solution de \(r^2+ 2\lambda r + {\omega_0}^2 = 0\) (3)
\(\lambda\) est le coefficient d'amortissement du système
\(\omega_0\) est sa pulsation propre.
Le discriminant réduit \(\Delta' = \Delta/4\) de (3) est \(\Delta'= \lambda^2 - {\omega_0}^2\)
.. Régime apériodique : \(\Delta'>0 : \lambda > \omega_0\)
Il y a deux racines réelles, distinctes et négatives. La solution générale est donc somme de deux exponentielles décroissantes et tendant vers \(0\) quand \(x\) tend vers l'infini.
Si \(r^1\) diffère de \(r^2\), on a ainsi deux solutions linéairement indépendantes de (2).
La solution générale s'écrit alors \(f(x) = A_1e^{r_1x} + A_2e^{r_2x}\).
S'il y a une racine double \(r_0\), \(xe^r0^x\) est aussi solution de (2) et linéairement indépendante de \(e^r0^x\). La solution générale de (2) est donc : \(f(x) = (\alpha + \beta x) e^r0^x\)
.. Régime critique : \(\Delta' = 0 : \lambda = \omega_0\)
Il y a une racine double négative \((-\lambda)\) et la solution générale est \((\alpha + \beta x) e^r0^x\)
.. Régime pseudo-sinusoïdal : \(\Delta' < 0 : \lambda < \omega_0\)
Posons \(\omega_2 = - \Delta'\). Il y a alors deux racines distinctes imaginaires conjuguées : \(- \lambda \pm i\omega\) . La solution générale est donc \(y(x) = e^{\lambda x}(\alpha_1 e^{i\omega x}+\alpha_2 e^{-i\omega x})\)
On montre que \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) sont complexes conjugués et que \(\alpha_1 e^{i\omega x} + \alpha_2 e^{-i\omega_x} = C \cos(\omega x + \Phi)\) où \(C\) et \(\Phi\) sont des constantes réelles.
Finalement \(y(x)=Ce^{-i\omega x} \cos (\omega x + \Phi)\).
Le graphe de \(y\) est une pseudo-sinusoïde dont l'amplitude tend vers \(0\) lorsque \(x\) tend vers l'infini.
.. Régime harmonique : Si \(\lambda = 0\), \(y(x) = C\cos (\omega x + \Phi)\) le graphe est une vraie sinusoïde.
Conclusion
Dans les trois cas ci-dessus, on a vu que la solution générale d'une équation linéaire homogène du second ordre à coefficients de même signe est une fonction dont la valeur tend vers \(0\) lorsque \(x\) augmente.
Or, les phénomènes physiques sont généralement observés avec une précision de mesure limitée; on est donc conduit à considérer constant un phénomène dont on ne sait pas déceler la variation.
C'est pourquoi dans les systèmes oscillants amortis, on néglige la solution générale de l'équation homogène associée, au bout d'un temps suffisant si \(x\) est la variable temps ou à partir d'une distance suffisante si \(x\) est une variable d'espace. L'appréciation de ce temps (ou de cette distance) dépend de la précision des mesures effectuées.
Recherche d'une solution particulière
Le second membre est une constante \(d\)
Si \(f(x)=\frac{d}{c}=\textrm{ Cste }, \forall x\in \mathbf{R}\), \(f\) est UNE solution particulière.
Le second membre est une fonction sinus
(2) s'écrit maintenant \(ay" + by' + cy = \alpha \cos \Omega x\) (3)
(\(resp.\alpha \sin \Omega x\)) avec \(\alpha\) appartient à \(\mathbf{R}\). Il est souvent commode de chercher au préalable UNE solution de \(ay" + by' + cy = \alpha e^{i\Omega x}\) (3')
La solution particulière cherchée de (3) en sera la partie réelle (resp imaginaire).
On cherche une solution de (3') de la forme \(A e^{i\Omega x}\) où \(A\) appartient à \(C\).
En portant dans (3'), on détermine par identification des parties réelles et imaginaires pures, \(A = \rho e^{i\Phi}\).
Une solution particulière cherchée pour l'équation (3) est \(y_p = \rho\cos(\omega x + \Phi)\).
Conclusion :
En physique, une solution particulière est donnée par le régime permanent ou l'état d'équilibre. En fait, c'est cette solution qu'on trouve dans les méthodes indiquées ci-dessus. Ainsi, un ressort chargé par une masse \(m\) oscille autour de sa position d'équilibre correspondant à l'allongement statique \(x_0\) tel que \(kx_0 = mg\).