Méthodes d'intégration
Il est toujours bon de chercher s'il est possible d'abaisser l'ordre d'une équation en changeant de fonction.
Ainsi, l'équation du second ordre en \(f\) : \(f " + f '= 0\) peut se ramener à une équation du premier ordre en \(u\) en posant: \(f '= u\) , d'où \(u '+ u = 0\)
Équations à variables séparables
Ce sont des équations du premier ordre de la forme \(f'\Phi(f)+\Psi=0\) ce qui s'écrit plus couramment: \(f'(x).\Phi(f(x))+\Psi(x)=0\) ou encore \(y'\Phi(y)+\Psi(x) = 0\).
Leur résolution est immédiate sachant que \(y'=dy/dx\) : \(\int\Phi(y)dy=-\int\Psi(x)dx\) d'où on tire \(y(x)\) après intégration.
Remarque :
Tous les calculs de primitives correspondent en fait à la résolution d'équations différentielles à variables séparables.
Équations différentielles linéaires
Ce sont des équations du type : \(\displaystyle{\sum_{k=0}^n}\Phi^k D^k f = g\) où \(D^k\) est un opérateur de dérivation d'ordre \(k\).
Soit \(\vartheta\) l'ensemble des fonctions de \(\mathbf{R}\) -> \(\mathbf{R}\). On définit l'application \(W\) : \(\vartheta\) -> \(\vartheta\) par \(\Omega = \displaystyle{\sum_{k=0}^n}\Phi^k D^k\) où \(\Phi^\mathrm k\in\vartheta\)
Alors, \(\Omega f = \displaystyle{\sum_{k=0}^n}\Phi^k D^kf = g\) et l'équation linéaire s'écrit: \(\Omega f = g\)
Propriété :
\(\Omega\) est une application linéaire.
Si de plus, \(g = 0\), l'équation est dite linéaire et homogène.
Si \(g\) diffère de \(0\), on appelle équation homogène associée à \(\Omega f = g\), la relation (quelquefois appelée équation sans second membre) \(\Omega f = 0\)
On montre que :
l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire et homogène d'ordre \(n\) constitue un espace vectoriel.
cet espace vectoriel de fonctions est de dimension \(n\), égale à l'ordre de l'équation.
Règle : Règle 1
Pour résoudre une équation différentielle linéaire et homogène d'ordre \(n\), il suffit d'en trouver \(n\) solutions particulières linéairement indépendantes.
La solution générale est combinaison linéaire de ces \(n\) solutions particulières.
Si \(f_1\) et \(f_2\) sont deux solutions particulières de \(\Omega f = g\), et si \(a\) et \(b\) sont deux scalaires quelconques, \(a f_1 + b f_2\) est solution de \(\Omega f = 0\).
Règle : Règle 2
Pour résoudre une équation différentielle linéaire, il suffit de résoudre l'équation homogène associée et de trouver UNE solution particulière de l'équation complète
La solution générale de l'équation complète est égale à la solution générale de l'équation homogène associée plus la solution particulière trouvée de l'équation complète.
Autrement dit, étant donnée \(f_p\) solution particulière de \(\Omega f = g\), \(f\) en est solution si et seulement s'il existe \(f_0\) solution de \(\Omega f=0\) telle que \(f = f_p + f_0\)